Encontre a solução geral da equação
.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede a solução geral. Assumir que
são números inteiros e que queremos todas as tuplas inteiras
que satisfazem a equação. As informações relevantes são os coeficientes
,
,
e o termo independente
.
Passo 2
Verificar se há soluções inteiras começa por calcular o máximo divisor comum dos coeficientes. Calcular
.
Primeiro
pois
e
.
Depois
pois
é múltiplo de
mas não de
. Portanto
Passo 3
Condição de existência: uma equação linear inteira
tem solução inteira somente se
divide
. Aqui
e
divide
, logo há soluções inteiras.
Para simplificar, dividimos toda a equação por
:
Passo 4
Agora vamos achar a solução geral de
Como há três incógnitas e uma equação, esperamos duas variáveis livres (dois parâmetros inteiros). Estratégia: escolher duas variáveis como parâmetros (aqui usaremos parâmetros inteiros
e
equivalentes a escolhas para
e um outro ajuste), resolver a congruência modular que garante que
seja inteiro, e então obter
.
Reescrevendo para isolar
:
Para que
seja inteiro é necessário e suficiente que
seja múltiplo de
. Em termos de congruência:
Passo 5
Resolver a congruência
.
Reduzimos coeficientes módulo
:
então a congruência vira
ou
Observe que
. Para que essa congruência tenha solução, o lado direito deve ser congruente com algo que possa ser produzido por
(um número par). Logo o lado direito precisa ser par. Isso impõe que
seja par, ou seja
tem paridade ímpar; como
tem a mesma paridade de
, concluímos que
deve ser ímpar. Então escrevemos
Substituindo
em
:
Como
e o módulo
têm fator comum
, dividimos a congruência inteira por
(isto é permitido porque o lado direito também é par, já que
foi escolhido ímpar), obtendo uma congruência módulo
:
Agora
é invertível módulo
(pois
). O inverso de
mod
é
porque
. Multiplicando ambos os lados por
:
Calcule
módulo
:
e
(pois
). Assim
Logo podemos escrever
na forma
com
. (Aqui
é o mesmo parâmetro que entrou em
, e
é um novo parâmetro inteiro.)
Passo 6
Agora substituímos
e
na equação para obter
.
Calculemos
:
Somando:
Então
Dividindo por
:
Portanto obtemos expressões inteiras para
em função de
:
Passo 7
Interpretando de forma estruturada: escolhemos dois parâmetros inteiros
. Uma solução particular é obtida para
:
que satisfaz
.
As direções (vetores da solução homogênea) correspondentes aos parâmetros
e
são:
- para variar
(fixando ): incremento ; - para variar
(fixando ): incremento .
Assim a solução geral pode também ser escrita como combinação linear:
Resposta
onde
.