Mostre que a equação x^{2}-2 y^{2}=1 possui uma infinidade de soluções inteiras.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a equação diofantina
x^{2}-2y^{2}=1
possui uma infinidade de soluções inteiras (x,y).
Informações relevantes dadas (explicitamente ou implícitas):
  • Queremos soluções inteiras (isto é, x,y\in\mathbb{Z}).
  • Há ao menos a solução trivial (1,0).
  • A tarefa é mostrar que existem indefinidamente muitas soluções, não apenas uma ou duas.

Passo 2

Ideia do método (explicada passo a passo, sem jargões): vamos usar um truque muito simples e poderoso — trabalhar com números da forma a+b\sqrt{2} e uma função chamada norma, que transforma cada número dessa forma num inteiro. Definimos a norma de \,a+b\sqrt{2}\, por
N(a+b\sqrt{2})=a^{2}-2b^{2}.
Vou mostrar duas coisas básicas sobre essa norma que são fáceis de checar e fundamentais:
  1. A norma é multiplicativa: para quaisquer inteiros a,b,c,d vale
N\big((a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})\big)=N(a+b\sqrt{2})\cdot N(c+d\sqrt{2}).
  1. Se encontrarmos um número u=a+b\sqrt{2} com N(u)=1, então todas as potências u^{n} terão norma 1 e, ao expandi-las, fornecerão soluções inteiras da equação.
Agora demonstro (1) de forma direta.

Passo 3

Prova direta da multiplicatividade da norma (sem usar teoria abstrata): calcule o produto
(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}.
Aplicando a definição da norma a esse produto,
N\big((a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})\big)=(ac+2bd)^{2}-2(ad+bc)^{2}.
Se expandirmos e simplificarmos (é só álgebra direta), os termos mistos se cancelam e obtemos
(ac+2bd)^{2}-2(ad+bc)^{2}=(a^{2}-2b^{2})(c^{2}-2d^{2})=N(a+b\sqrt{2})\cdot N(c+d\sqrt{2}).
Portanto a norma é multiplicativa, como prometido.

Passo 4

Encontrar uma unidade com norma 1. Verificamos que
3^{2}-2\cdot 2^{2}=9-8=1,
ou seja, N(3+2\sqrt{2})=1. Isso é ótimo: u:=3+2\sqrt{2} tem norma 1. Pelo item anterior, para todo n\in\mathbb{N} vale
N\big(u^{n}\big)=N(u)^{n}=1^{n}=1.
Escrevendo
u^{n}=x_{n}+y_{n}\sqrt{2}
com x_{n},y_{n} inteiros (explico na próxima etapa porque são inteiros), temos imediatamente
x_{n}^{2}-2y_{n}^{2}=N\big(u^{n}\big)=1.
Assim cada potência de u fornece uma solução inteira da equação.

Passo 5

Por que u^{n} tem a forma x_{n}+y_{n}\sqrt{2} com x_{n},y_{n}\in\mathbb{Z}? Isso é claro por indução: para n=1 é verdade ( u=3+2\sqrt{2} ). Suponha u^{n}=x_{n}+y_{n}\sqrt{2} com inteiros x_{n},y_{n}. Então
u^{n+1}=u^{n}\cdot u=(x_{n}+y_{n}\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=(3x_{n}+4y_{n})+(2x_{n}+3y_{n})\sqrt{2},
logo x_{n+1}=3x_{n}+4y_{n} e y_{n+1}=2x_{n}+3y_{n} são inteiros. Assim por indução todos os x_{n},y_{n} são inteiros. As fórmulas de recorrência acima também permitem computar soluções explicitamente.

Passo 6

As soluções obtidas são distintas e infinitas. Observações simples:
  • Para n=0 temos u^{0}=1, que dá a solução (x_{0},y_{0})=(1,0).
  • Para n=1 temos (x_{1},y_{1})=(3,2).
  • Para n=2 calculando com a fórmula ou elevando u^{2} obtemos
u^{2}=(3+2\sqrt{2})^{2}=17+12\sqrt{2},
isto é, (x_{2},y_{2})=(17,12).
  • Em geral u>1 (pois 3+2\sqrt{2}>1), logo u^{n} cresce com n e os pares (x_{n},y_{n}) são diferentes para diferentes n. Consequentemente, temos uma infinidade de soluções distintas da equação.

Passo 7

Resumo final do construtor explícito: para todo inteiro n\ge 0 defina (x_{n},y_{n}) por
(3+2\sqrt{2})^{n}=x_{n}+y_{n}\sqrt{2}.
Então x_{n},y_{n}\in\mathbb{Z} e
x_{n}^{2}-2y_{n}^{2}=1.
Assim a equação possui infinitas soluções inteiras; exemplos iniciais são
(1,0),\quad (3,2),\quad (17,12),\quad (99,70),\\ \ldots

Resposta

Para todo n\ge 0, os inteiros x_{n},y_{n} definidos por
(3+2\sqrt{2})^{n}=x_{n}+y_{n}\sqrt{2}
satisfazem x_{n}^{2}-2y_{n}^{2}=1. Logo a equação x^{2}-2y^{2}=1 tem infinitas soluções inteiras (por exemplo (1,0),(3,2),(17,12),(99,70),\ldots).

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