Encontre o gradiente de
no ponto indicado.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Função dada:
. - Ponto onde queremos o gradiente:
. - Pergunta clara: encontrar o gradiente de
no ponto .
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos usá‑lo:
- O gradiente de uma função de duas variáveis
é o vetor das derivadas parciais:
- Aqui
significa a derivada parcial de em relação a (tratando como constante) e a derivada parcial em relação a (tratando como constante). - Plano de ataque: calcular
e por derivação (cadeia + regra do poder) e depois avaliar em .
Passo 3
Reescrevendo a função para aplicar a regra do poder e da cadeia:
- Definimos a função interna
. Então podemos escrever
- Regra do poder: se
então . - Regra da cadeia:
.
Passo 4
Cálculo de
aplicando cadeia e poder:
- Aplicando as regras:
- Como
, temos
- Simplificando
, logo
Passo 5
Cálculo de
(idêntico procedimento trocando
por
):
-
- Portanto o gradiente geral é
Passo 6
Avaliação do gradiente no ponto
:
- Primeiro calcule
em :
- Calcule
. Como e , temos
- Agora as componentes: