Encontre o gradiente de f no ponto indicado.
f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-\frac{1}{2}} ;(3,4)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Função dada: f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}.
  • Ponto onde queremos o gradiente: (3,4).
  • Pergunta clara: encontrar o gradiente de f no ponto (3,4).

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos usá‑lo:
  • O gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor das derivadas parciais:
\displaystyle \nabla f(x,y)=\big(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\big).
  • Aqui f_x significa a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante) e f_y a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante).
  • Plano de ataque: calcular f_x(x,y) e f_y(x,y) por derivação (cadeia + regra do poder) e depois avaliar em (3,4).

Passo 3

Reescrevendo a função para aplicar a regra do poder e da cadeia:
  • Definimos a função interna u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Então podemos escrever
f(x,y)=u(x,y)^{-\frac{1}{2}}.
  • Regra do poder: se g(u)=u^{n} então g'(u)=n\,u^{n-1}.
  • Regra da cadeia: \dfrac{\partial}{\partial x}g(u(x,y))=g'(u(x,y))\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}.

Passo 4

Cálculo de f_x(x,y) aplicando cadeia e poder:
  • Aplicando as regras:
f_x(x,y)=\left(-\tfrac{1}{2}\right)u(x,y)^{-\frac{3}{2}}\cdot \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+y^{2}\big).
  • Como \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x, temos
f_x(x,y)=\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}+y^{2})^{-\frac{3}{2}}\cdot 2x.
  • Simplificando \left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 2x = -x, logo
\boxed{f_x(x,y)=-x\,(x^{2}+y^{2})^{-\frac{3}{2}}.}

Passo 5

Cálculo de f_y(x,y) (idêntico procedimento trocando x por y):
  • f_y(x,y)=\left(-\tfrac{1}{2}\right)(x^{2}+y^{2})^{-\frac{3}{2}}\cdot 2y=-y\,(x^{2}+y^{2})^{-\frac{3}{2}}.
  • Portanto o gradiente geral é
\displaystyle \nabla f(x,y)=\big(-x\,(x^{2}+y^{2})^{-\frac{3}{2}},\,-y\,(x^{2}+y^{2})^{-\frac{3}{2}}\big).

Passo 6

Avaliação do gradiente no ponto (3,4):
  • Primeiro calcule x^{2}+y^{2} em (3,4):
3^{2}+4^{2}=9+16=25.
  • Calcule (25)^{-\frac{3}{2}}. Como 25^{1/2}=5 e 5^{3}=125, temos
25^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{125}.
  • Agora as componentes:
f_x(3,4)=-3\cdot\frac{1}{125}=-\tfrac{3}{125}, \qquad f_y(3,4)=-4\cdot\frac{1}{125}=-\tfrac{4}{125}.

Resposta

\left(-\tfrac{3}{125},-\tfrac{4}{125}\right)

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