Espera-se que o custo operacional de um forno ciclônico (cyclone furnace), a carvāo pulverizado, seja de \ 80.000 ao ano. Considerando que o vapor produzido será necessário durante 5 anos somente, a partir de agora (ou seja, anos 0 a 5), qual é o valor anual equivalente nos anos 1 a 5 para o custo operacional, considerando uma taxa de juros deááé10 %$ ao ano ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Informação: o custo operacional esperado é de \$80.000 ao ano.
  • Informação: esse custo acontecerá por 5 anos, a partir de agora (o enunciado indica “a partir de agora”, isto é, há um pagamento imediatamente no ano 0 e mais pagamentos anuais até completar 5 anos de serviço).
  • Informação: a taxa de juros é de 10\% ao ano, isto é, i=0,10.
  • Pergunta: qual é o valor anual equivalente nos anos 1 a 5 para o custo operacional?
Observação clara do que se pede: transformar a série de pagamentos anuais que começa agora (ano 0) em uma série equivalente de pagamentos uniformes ocorrendo no final de cada ano dos anos 1 a 5.

Passo 2

Interpretação prática que vamos usar (sem complicar): o enunciado indica pagamentos anuais de \$80.000 começando agora. Isso corresponde a cinco pagamentos iguais em t=0,1,2,3,4 (um pagamento no início do período e os demais anualmente), e queremos uma série equivalente de cinco pagamentos iguais em t=1,2,3,4,5. Vamos transformar a anuidade do tipo “início de período” (annuity due) numa anuidade do tipo “fim de período” (annuity immediate) para os anos 1 a 5.

Passo 3

Conceito financeiro necessário (explicado devagar):
  • Quando temos uma série de pagamentos iguais P feitos no início de cada período por n períodos (ou seja, em t=0,1,\dots,n-1), chamamos isso de “anuidade antecipada” (annuity due).
  • Quando temos uma série de pagamentos iguais A feitos no final de cada período por n períodos (ou seja, em t=1,2,\dots,n), chamamos isso de “anuidade imediata” (annuity immediate).
  • A relação entre as duas séries, em valor presente no tempo zero, é simples: o valor presente de uma annuity due de valor P por n períodos é igual ao valor presente de uma annuity immediate de mesmo valor P multiplicado por (1+i), porque cada pagamento da annuity due ocorre um período antes do correspondente na annuity immediate e, portanto, vale (1+i) vezes mais em termos de valor no tempo anterior.
Vou mostrar isso com contas formais a seguir para ficar cristalino.

Passo 4

Escrevendo as somas e igualando valores presentes:
  • Valor presente da série original (pagamentos \$80.000 em t=0,1,2,3,4):
PV_{\text{orig}}=\sum_{k=0}^{4} \$80.000\,(1+i)^{-k}.
  • Valor presente de uma série equivalente de pagamentos A em t=1,2,3,4,5 (queremos encontrar A):
PV_{\text{equiv}}=\sum_{k=1}^{5} A\,(1+i)^{-k}=A\cdot\frac{1-(1+i)^{-5}}{i}.
Agora calculamos PV_{\text{orig}} em forma fechada. A soma geométrica dá
PV_{\text{orig}}=\$80.000\cdot\sum_{k=0}^{4}(1+i)^{-k}=\$80.000\cdot\frac{1-(1+i)^{-5}}{1-(1+i)^{-1}}.
Como 1-(1+i)^{-1}=\dfrac{i}{1+i}, isto se simplifica para
PV_{\text{orig}}=\$80.000\cdot(1+i)\cdot\frac{1-(1+i)^{-5}}{i}.

Passo 5

Igualando os valores presentes para obter A:
A\cdot\frac{1-(1+i)^{-5}}{i} \;=\; \$80.000\cdot(1+i)\cdot\frac{1-(1+i)^{-5}}{i}.
O fator \dfrac{1-(1+i)^{-5}}{i} é comum e diferente de zero, então podemos cancelar ambos os lados, obtendo a relação muito simples
A=\$80.000\cdot(1+i).
Essa é a relação prática que eu mencionei antes: para transformar pagamentos no início do período em pagamentos no fim do período (deslocar todos os pagamentos uma unidade no tempo à frente), cada pagamento é multiplicado por (1+i).

Passo 6

Substituindo i=0,10 (10% ao ano) e o valor \$80.000:
A=\$80.000\cdot(1+0,10)=\$80.000\cdot1{,}10=\$88.000.
Interpretação: pagar \$80.000 agora e nos próximos 4 anos (total de 5 pagamentos no início dos anos) é financeiramente equivalente a pagar \$88.000 no final de cada ano dos anos 1 a 5, quando a taxa de juros é 10\% ao ano.

Passo 7

Cheque rápido por intuição: cada pagamento adiantado vale mais que um pagamento no fim do período seguinte; multiplicar por 1+i faz sentido porque valor futuro imediato de \$80.000 por um ano a 10% é \$88.000. Como todos os cinco pagamentos são deslocados um ano à frente, cada um vira \$88.000 nos anos 1 a 5.

Resposta

\$88.000

Exercícios relacionados