Espera-se que o custo operacional de um forno ciclônico (cyclone furnace), a carvāo pulverizado, seja de
80.000
10 %$ ao ano ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Informação: o custo operacional esperado é de
ao ano. - Informação: esse custo acontecerá por 5 anos, a partir de agora (o enunciado indica “a partir de agora”, isto é, há um pagamento imediatamente no ano
e mais pagamentos anuais até completar 5 anos de serviço). - Informação: a taxa de juros é de
ao ano, isto é, . - Pergunta: qual é o valor anual equivalente nos anos
a para o custo operacional?
Observação clara do que se pede: transformar a série de pagamentos anuais que começa agora (ano
) em uma série equivalente de pagamentos uniformes ocorrendo no final de cada ano dos anos
a
.
Passo 2
Interpretação prática que vamos usar (sem complicar): o enunciado indica pagamentos anuais de
começando agora. Isso corresponde a cinco pagamentos iguais em
(um pagamento no início do período e os demais anualmente), e queremos uma série equivalente de cinco pagamentos iguais em
. Vamos transformar a anuidade do tipo “início de período” (annuity due) numa anuidade do tipo “fim de período” (annuity immediate) para os anos
a
.
Passo 3
Conceito financeiro necessário (explicado devagar):
- Quando temos uma série de pagamentos iguais
feitos no início de cada período por períodos (ou seja, em ), chamamos isso de “anuidade antecipada” (annuity due). - Quando temos uma série de pagamentos iguais
feitos no final de cada período por períodos (ou seja, em ), chamamos isso de “anuidade imediata” (annuity immediate). - A relação entre as duas séries, em valor presente no tempo zero, é simples: o valor presente de uma annuity due de valor
por períodos é igual ao valor presente de uma annuity immediate de mesmo valor multiplicado por , porque cada pagamento da annuity due ocorre um período antes do correspondente na annuity immediate e, portanto, vale vezes mais em termos de valor no tempo anterior.
Vou mostrar isso com contas formais a seguir para ficar cristalino.
Passo 4
Escrevendo as somas e igualando valores presentes:
- Valor presente da série original (pagamentos
em ):
- Valor presente de uma série equivalente de pagamentos
em (queremos encontrar ):
Agora calculamos
em forma fechada. A soma geométrica dá
Como
, isto se simplifica para
Passo 5
Igualando os valores presentes para obter
:
O fator
é comum e diferente de zero, então podemos cancelar ambos os lados, obtendo a relação muito simples
Essa é a relação prática que eu mencionei antes: para transformar pagamentos no início do período em pagamentos no fim do período (deslocar todos os pagamentos uma unidade no tempo à frente), cada pagamento é multiplicado por
.
Passo 6
Substituindo
(10% ao ano) e o valor
:
Interpretação: pagar
agora e nos próximos 4 anos (total de 5 pagamentos no início dos anos) é financeiramente equivalente a pagar
no final de cada ano dos anos
a
, quando a taxa de juros é
ao ano.
Passo 7
Cheque rápido por intuição: cada pagamento adiantado vale mais que um pagamento no fim do período seguinte; multiplicar por
faz sentido porque valor futuro imediato de
por um ano a 10% é
. Como todos os cinco pagamentos são deslocados um ano à frente, cada um vira
nos anos
a
.