3.13 Uma empresa de serviços públicos localizada na zona rural fornece energia elétrica da reserva a estações de bombeamento, utilizando geradores a diesel. Surgiu uma alternativa, na qual a empresa poderia usar gás natural para o funcionamento dos geradores, mas demandará alguns anos para que o gás esteja disponível em lugares distantes. A empresa estima que, ao realizar a mudança para o gás, economizará \ 15.000 por ano, com início daqui a 2 anos. Considerando uma taxa de juros deí8 %$ ao ano, determine o valor anual equivalente (anos 1 a 10) das economias previstas.

Passo 1

O enunciado diz que a empresa economizará \$\,15{,}000 por ano, com início daqui a 2 anos. A taxa de juros é de 8\% ao ano. Precisamos determinar o “valor anual equivalente” no período de anos 1 a 10 — ou seja, um valor anual uniforme A pago nos anos 1,2,\dots,10 que seja financeiramente equivalente à série de economias descrita. Informações relevantes:

  • Economia anual (cada pagamento): \$\,15{,}000.
  • Primeira economia ocorre no final do ano 2 (início daqui a 2 anos).
  • Economias ocorrem anualmente até o ano 10 (interpreto que são os anos 2 a 10, total de 9 pagamentos).
  • Taxa de juros anual: i=8\% = 0{,}08.
  • Pergunta: encontrar o valor anual equivalente A para os anos 1 a 10 (pagamentos ao final de cada ano de 1 a 10).

Passo 2

Estratégia (só a estratégia; a execução vem nos passos seguintes): vamos primeiro transformar a série original de pagamentos ( \$\,15{,}000 em t=2,3,\dots,10) em um valor presente (PV) no instante zero. Depois convertemos esse PV em um valor anual uniforme A com pagamentos nos anos 1 a 10 usando a fórmula de recuperação de capital (fator de conversão de PV para série uniforme). Agora seguimos com as fórmulas e cálculos.

Passo 3

Fórmula do valor presente de uma anuidade de n pagamentos iguais X ocorrendo nos períodos 1,\dots,n:
PV = X \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicação:
  • PV é o valor presente no instante 0.
  • X é o pagamento anual (final de cada ano),
  • i é a taxa de juros por período (aqui i=0{,}08),
  • n é o número de pagamentos.
    Essa fórmula soma os descontos de cada pagamento e resulta no equivalente hoje.

Passo 4

Aplicação ao caso: nossos pagamentos são \$\,15{,}000 em t=2,3,\dots,10 (ou seja, 9 pagamentos). Se considerarmos uma anuidade de 9 pagamentos \$\,15{,}000 ocorrendo nos períodos 1 a 9, o PV dessa anuidade seria
PV_{t=0\\ \text{(se pagos em 1..9)}} = 15000\cdot\frac{1-(1+i)^{-9}}{i}.
Mas como os pagamentos reais ocorrem em t=2..10 (cada um um período adiante), o PV que queremos no instante 0 é esse valor descontado mais um período, ou seja:
PV = 15000\cdot\frac{1-(1+i)^{-9}}{i}\cdot(1+i)^{-1}.
Isto é a mesma soma direta de 15000/(1+i)^2 + 15000/(1+i)^3 + \dots + 15000/(1+i)^{10}.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente o PV com i=0{,}08. Primeiro computamos (1+i)^{9} e seu inverso:
(1+i)^9 = 1{,}08^9 \approx 1{,}9990046271044322,
(1+i)^{-9} \approx 0{,}500248691467.
Logo
1-(1+i)^{-9} \approx 0{,}499751308533.
O denominador i é 0{,}08, e multiplicando por (1+i) no ajuste temos i(1+i)=0{,}08\cdot1{,}08=0{,}0864. Assim o fator inteiro vale
\frac{1-(1+i)^{-9}}{i(1+i)} \approx \frac{0{,}499751308533}{0{,}0864}\approx 5{,}787048745.
Portanto
PV \approx 15000\cdot 5{,}787048745 \approx 86{,}805{,}731{,}18.

Passo 6

Agora convertemos esse PV em um valor anual equivalente A com pagamentos uniformes nos anos 1 a 10. A fórmula de recuperação de capital (conversão de PV em série uniforme de n anos) é:
A = PV \cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Aqui n=10 e i=0{,}08. Alternativamente essa razão pode ser escrita como
\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1},
mas usaremos a primeira forma direta.

Passo 7

Calculamos o fator de recuperação para n=10:
(1+i)^{10} = 1{,}08^{10} \approx 2{,}1589249972727868,
(1+i)^{-10} \approx 0{,}463193042.
Então
1-(1+i)^{-10} \approx 0{,}536806958,
e o fator \dfrac{i}{1-(1+i)^{-10}} vale aproximadamente
\frac{0{,}08}{0{,}536806958} \approx 0{,}149029497.

Passo 8

Finalmente calculamos A:
A \approx 86{,}805{,}731{,}18 \times 0{,}149029497 \approx 12{,}936{,}61.
Interpretação: pagar (ou receber) \$\,12{,}936{,}61 ao final de cada ano nos anos 1 a 10 é financeiramente equivalente, a 8\% ao ano, a receber \$\,15{,}000 por ano nos anos 2 a 10.

Resposta

\$\,12{,}936{,}61

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