3.13 Uma empresa de serviços públicos localizada na zona rural fornece energia elétrica da reserva a estações de bombeamento, utilizando geradores a diesel. Surgiu uma alternativa, na qual a empresa poderia usar gás natural para o funcionamento dos geradores, mas demandará alguns anos para que o gás esteja disponível em lugares distantes. A empresa estima que, ao realizar a mudança para o gás, economizará
15.000
8 %$ ao ano, determine o valor anual equivalente (anos 1 a 10) das economias previstas.
Passo 1
O enunciado diz que a empresa economizará
por ano, com início daqui a 2 anos. A taxa de juros é de
ao ano. Precisamos determinar o “valor anual equivalente” no período de anos 1 a 10 — ou seja, um valor anual uniforme
pago nos anos
que seja financeiramente equivalente à série de economias descrita. Informações relevantes:
- Economia anual (cada pagamento):
. - Primeira economia ocorre no final do ano 2 (início daqui a 2 anos).
- Economias ocorrem anualmente até o ano 10 (interpreto que são os anos
a , total de 9 pagamentos). - Taxa de juros anual:
. - Pergunta: encontrar o valor anual equivalente
para os anos a (pagamentos ao final de cada ano de 1 a 10).
Passo 2
Estratégia (só a estratégia; a execução vem nos passos seguintes): vamos primeiro transformar a série original de pagamentos (
em
) em um valor presente (PV) no instante zero. Depois convertemos esse PV em um valor anual uniforme
com pagamentos nos anos
a
usando a fórmula de recuperação de capital (fator de conversão de PV para série uniforme). Agora seguimos com as fórmulas e cálculos.
Passo 3
Fórmula do valor presente de uma anuidade de
pagamentos iguais
ocorrendo nos períodos
:
Explicação:
-
é o valor presente no instante . -
é o pagamento anual (final de cada ano), -
é a taxa de juros por período (aqui ), -
é o número de pagamentos.
Essa fórmula soma os descontos de cada pagamento e resulta no equivalente hoje.
Passo 4
Aplicação ao caso: nossos pagamentos são
em
(ou seja, 9 pagamentos). Se considerarmos uma anuidade de
pagamentos
ocorrendo nos períodos
a
, o
dessa anuidade seria
Mas como os pagamentos reais ocorrem em
(cada um um período adiante), o
que queremos no instante
é esse valor descontado mais um período, ou seja:
Isto é a mesma soma direta de
.
Passo 5
Agora vamos calcular numericamente o
com
. Primeiro computamos
e seu inverso:
Logo
O denominador
é
, e multiplicando por
no ajuste temos
. Assim o fator inteiro vale
Portanto
Passo 6
Agora convertemos esse
em um valor anual equivalente
com pagamentos uniformes nos anos
a
. A fórmula de recuperação de capital (conversão de
em série uniforme de
anos) é:
Aqui
e
. Alternativamente essa razão pode ser escrita como
mas usaremos a primeira forma direta.
Passo 7
Calculamos o fator de recuperação para
:
Então
e o fator
vale aproximadamente
Passo 8
Finalmente calculamos
:
Interpretação: pagar (ou receber)
ao final de cada ano nos anos
a
é financeiramente equivalente, a
ao ano, a receber
por ano nos anos
a
.