Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua.
f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}, \text { para } x \leq 2 \\\\ 9, \text { para } x>2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de x para os quais a função f não é contínua. A função fornecida é por partes:
  • Para x \leq 2: f(x)=x^{2}.
  • Para x>2: f(x)=9.
As perguntas claras que temos que responder:
  • Em quais pontos x a função não é contínua?

Passo 2

Lembrete (definição útil e prática): uma função f é contínua em um ponto c se e somente se
\lim_{x\to c} f(x)=f\text{(c)}.
Para funções por partes é comum verificar:
  • continuidade em pontos interiores de cada ramo (onde a definição não muda), e
  • continuidade nos pontos de fronteira entre os ramos (aqui, o ponto x=2), verificando os limites laterais
\lim_{x\to c^-} f(x)\quad\text{e}\quad\lim_{x\to c^+} f(x).
A função é contínua em c exatamente quando essas duas limites laterais existem, são iguais entre si, e igualam f\text{(c)}.

Passo 3

Verificar pontos com x<2 (interior do ramo x^{2}):
  • O ramo é f(x)=x^{2}, que é um polinômio. Polinômios são contínuos em todo número real, isto é, para qualquer a,
\lim_{x\to a} x^{2}=a^{2}=f(a).
Portanto f é contínua em todo ponto com x<2.

Passo 4

Verificar pontos com x>2 (interior do ramo constante):
  • O ramo é f(x)=9, uma função constante. Funções constantes são contínuas em todo número real, pois para qualquer a,
\lim_{x\to a} 9=9=f(a).
Portanto f é contínua em todo ponto com x>2.

Passo 5

Resta verificar o ponto de fronteira x=2.
  • Primeiro calcule a limite à esquerda:
\lim_{x\to 2^-} f(x)=\lim_{x\to 2^-} x^{2}=2^{2}=4.
  • Agora a limite à direita:
\lim_{x\to 2^+} f(x)=\lim_{x\to 2^+} 9 = 9.
  • E o valor da função em x=2 (usar o ramo x\le 2):
f(2)=2^{2}=4.
Observação: as duas limites laterais são diferentes ( 4 e 9), logo a limite \lim_{x\to 2} f(x) NÃO existe. Como a limite não existe, a condição de continuidade \lim_{x\to 2} f(x)=f(2) falha. Portanto f não é contínua em x=2.

Passo 6

Tipo de descontinuidade (comentário adicional útil para a prova): trata-se de uma descontinuidade do tipo salto (jump), porque as duas limites laterais existem e são finitas, mas são diferentes entre si.

Resposta

x=2

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