Determine todos os valores de x para os quais a função dada não é contínua. f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}, \text { para } x \leq 2 \\\\ 9, \text { para } x>2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de x para os quais a função f não é contínua. A função fornecida é por partes:
Para x \leq 2: f(x)=x^{2}.
Para x>2: f(x)=9.
As perguntas claras que temos que responder:
Em quais pontos x a função não é contínua?
Passo 2
Lembrete (definição útil e prática): uma função f é contínua em um ponto c se e somente se
\lim_{x\to c} f(x)=f\text{(c)}.
Para funções por partes é comum verificar:
continuidade em pontos interiores de cada ramo (onde a definição não muda), e
continuidade nos pontos de fronteira entre os ramos (aqui, o ponto x=2), verificando os limites laterais
Observação: as duas limites laterais são diferentes (4 e 9), logo a limite \lim_{x\to 2} f(x) NÃO existe. Como a limite não existe, a condição de continuidade \lim_{x\to 2} f(x)=f(2) falha. Portanto f não é contínua em x=2.
Passo 6
Tipo de descontinuidade (comentário adicional útil para a prova): trata-se de uma descontinuidade do tipo salto (jump), porque as duas limites laterais existem e são finitas, mas são diferentes entre si.