Encontre o gradiente de
no ponto indicado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o gradiente no ponto indicado. Informações fornecidas:
Ponto indicado:
.
O que é pedido: calcular o gradiente de
em
, isto é, obter o vetor
e então avaliar esse vetor no ponto dado.
Passo 2
Conceitos e regras que vamos usar (explicação passo a passo):
- A derivada parcial em relação a uma variável trata as outras como constantes. Por exemplo, para
consideramos e fixos. - Produto: se
então . - Regra da cadeia (para potências): se
então . - Derivada de
: , onde .
Vamos aplicar isso ao produto
(que é constante quando derivamos em
) vezes
(que depende de
).
Passo 3
Calcular
.
Tratando
como constante, aplicamos a regra da cadeia à
:
Usando a regra da cadeia para potência:
Portanto
Passo 4
Calcular
.
Aqui
e
são constantes em relação a
. Como
depende de
, aplicamos derivada de potência:
Explicando: derivada de
é
, e multiplicamos pelo resto que é constante.
Passo 5
Calcular
.
Aqui
e
são constantes em relação a
. Como
é linear em
, temos
Passo 6
Agora avaliamos cada derivada parcial no ponto
.
Primeiro calculos auxiliares:
Logo
E também
Agora cada componente:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Juntando as componentes, o gradiente avaliado no ponto é o vetor cujas componentes são os valores calculados: