Encontre o gradiente de f no ponto indicado.
f(x, y, z)=y^{2} z \operatorname{tg}^{3}(x) ;(\pi / 4,-3,1)

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede o gradiente no ponto indicado. Informações fornecidas:
f(x,y,z)=y^{2} z \tan^{3}(x)
Ponto indicado: \left(\pi/4,\,-3,\,1\right).
O que é pedido: calcular o gradiente de f em \left(\pi/4,\,-3,\,1\right), isto é, obter o vetor
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\right)
e então avaliar esse vetor no ponto dado.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicação passo a passo):
  • A derivada parcial em relação a uma variável trata as outras como constantes. Por exemplo, para \partial f/\partial y consideramos x e z fixos.
  • Produto: se f=uv então \partial f/\partial y = u\,\partial v/\partial y + v\,\partial u/\partial y.
  • Regra da cadeia (para potências): se h(x) = [g(x)]^{3} então h'(x)=3[g(x)]^{2}\,g'(x).
  • Derivada de \tan x: \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x, onde \operatorname{sec} x=1/\cos x.
Vamos aplicar isso ao produto y^{2}z (que é constante quando derivamos em x) vezes \tan^{3}x (que depende de x).

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Tratando y^{2}z como constante, aplicamos a regra da cadeia à \tan^{3}(x):
\frac{\partial f}{\partial x}=y^{2}z\cdot\frac{d}{dx}\big(\tan^{3}x\big)
Usando a regra da cadeia para potência:
\frac{d}{dx}\big(\tan^{3}x\big)=3\tan^{2}x\cdot\frac{d}{dx}\tan x=3\tan^{2}x\operatorname{sec}^{2}x.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=3y^{2}z\,\tan^{2}x\,\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Aqui \tan^{3}x e z são constantes em relação a y. Como y^{2} depende de y, aplicamos derivada de potência:
\frac{\partial f}{\partial y}=2y\cdot z\cdot \tan^{3}x = 2yz\,\tan^{3}x.
Explicando: derivada de y^{2} é 2y, e multiplicamos pelo resto que é constante.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Aqui y^{2} e \tan^{3}x são constantes em relação a z. Como f é linear em z, temos
\frac{\partial f}{\partial z}=y^{2}\,\tan^{3}x.

Passo 6

Agora avaliamos cada derivada parcial no ponto \left(\pi/4,\,-3,\,1\right).
Primeiro calculos auxiliares:
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1,\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\cos(\pi/4)}=\sqrt{2}.
Logo
\tan^{2}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=1^{2}=1,\qquad \operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=(\sqrt{2})^{2}=2.
E também
y^{2}=(-3)^{2}=9,\qquad z=1.
Agora cada componente:
Para \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(\pi/4,-3,1)}=3\cdot y^{2}\cdot z\cdot \tan^{2}\!\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{\pi}{4}\right) =3\cdot 9\cdot 1\cdot 1\cdot 2=54.
Para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{(\pi/4,-3,1)}=2\cdot y\cdot z\cdot \tan^{3}\!\left(\frac{\pi}{4}\right) =2\cdot(-3)\cdot 1\cdot 1^{3}=-6.
Para \dfrac{\partial f}{\partial z}:
\frac{\partial f}{\partial z}\Big|_{(\pi/4,-3,1)}=y^{2}\cdot \tan^{3}\!\left(\frac{\pi}{4}\right) =9\cdot 1=9.

Passo 7

Juntando as componentes, o gradiente avaliado no ponto é o vetor cujas componentes são os valores calculados:
\nabla f\!\left(\frac{\pi}{4},-3,1\right)=\big(54,\,-6,\,9\big).

Resposta

\,(54,-6,9)

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