Encontre o vetor gradiente e a matriz hessiana para cada uma das seguintes funções:
f(x, y)=3 x y^{2}+2 e^{x y}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem objetivas para a função
f(x,y)=3xy^{2}+2e^{xy}.
Perguntas que precisamos responder:
  1. Encontrar o vetor gradiente \nabla f(x,y) (ou seja, as derivadas parciais primeiras).
  2. Encontrar a matriz Hessiana Hf(x,y) (ou seja, todas as derivadas parciais segundas).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é explícita em termos de x e y: soma de um termo polinomial 3xy^{2} e um termo exponencial 2e^{xy}.
  • Não há restrições adicionais sobre x e y; podemos assumir que x,y\in\mathbb{R}.
    A partir daqui vamos calcular passo a passo as derivadas parciais e montar gradiente e Hessiana.

Passo 2

O que é preciso saber (mini-aula prática):
  • Derivada parcial: para obter \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e diferenciamos em relação a x; para \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante.
  • Regras que usaremos:
    • Regra do produto: \frac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
    • Regra da cadeia: se g(x)=e^{h(x)}, então g'(x)=h'(x)e^{h(x)}.
  • Aplicação prática ao termo e^{xy}: ao derivar em relação a x, y é constante, então \frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y e^{xy}. Ao derivar em relação a y, \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x e^{xy}.
    Vou aplicar essas regras explicitamente em cada derivada para você conseguir repetir na prova.

Passo 3

Cálculo de \frac{\partial f}{\partial x}:
Começo com a função
f(x,y)=3xy^{2}+2e^{xy}.
Derivo termo a termo em relação a x, lembrando que y é constante.
  • Para 3xy^{2}: é um produto 3x\cdot y^{2}, mas como y^{2} é constante, \frac{\partial}{\partial x}(3xy^{2})=3y^{2}.
  • Para 2e^{xy}: usar regra da cadeia. A constante 2 sai, e \frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y e^{xy}. Logo
\frac{\partial}{\partial x}(2e^{xy})=2\cdot y e^{xy}=2y e^{xy}.
Somando os dois termos:
\frac{\partial f}{\partial x}=3y^{2}+2y e^{xy}.

Passo 4

Cálculo de \frac{\partial f}{\partial y}:
Parto novamente de
f(x,y)=3xy^{2}+2e^{xy},
e derivo em relação a y (agora x é constante).
  • Para 3xy^{2}: é 3x\cdot y^{2}. Derivando em y: \frac{\partial}{\partial y}(3xy^{2})=3x\cdot 2y=6xy.
  • Para 2e^{xy}: aplicar regra da cadeia com x constante: \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x e^{xy}. Logo
\frac{\partial}{\partial y}(2e^{xy})=2\cdot x e^{xy}=2x e^{xy}.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=6xy+2x e^{xy}.

Passo 5

Montagem do vetor gradiente:
O gradiente é o vetor das derivadas parciais primeiras:
\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\\[6pt]\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3y^{2}+2y e^{xy}\\[6pt]6xy+2x e^{xy}\end{pmatrix}.
Guarde essa forma: cada componente corresponde a derivar a função em relação àquela coordenada mantendo a outra fixa.]

Passo 6

O que é a Hessiana (mini-aula prática):
  • A matriz Hessiana Hf(x,y) é a matriz 2×2 das derivadas parciais segundas:
Hf(x,y)=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} & \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} & \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
  • Em funções “bem comportadas” as derivadas mistas são iguais ( \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}). Vamos calcular cada entrada a partir das expressões do gradiente que já obtivemos.]

Passo 7

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}:
Parto de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3y^{2}+2y e^{xy}.
  • Derivando em relação a x: 3y^{2} é constante em x, então vira 0.
  • Para 2y e^{xy}: 2y é constante multiplicativa, e \frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y e^{xy}. Então
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2y\cdot (y e^{xy})=2y^{2} e^{xy}.

Passo 8

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} (derivar \frac{\partial f}{\partial x} em relação a y):
Parto de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3y^{2}+2y e^{xy}.
  • Derivada de 3y^{2} em relação a y é 6y.
  • Para 2y e^{xy} usamos regra do produto: seja u(y)=2y e v(y)=e^{xy} (lembrando que x é tratado como constante agora).
    • u'(y)=2.
    • v'(y)=x e^{xy}.
    • Então \frac{\partial}{\partial y}(2y e^{xy})=u'v+uv' = 2e^{xy} + 2y\cdot x e^{xy} = 2e^{xy} + 2xy e^{xy}.
      Somando:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=6y + 2e^{xy} + 2xy e^{xy}.

Passo 9

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} (e checagem de simetria \partial_{y}\partial_{x}=\partial_{x}\partial_{y}):
Parto de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=6xy+2x e^{xy}.
  • Derivando em relação a y: para 6xy, com x constante, obtemos 6x.
  • Para 2x e^{xy}: 2x é constante multiplicativa; \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x e^{xy}. Logo esse termo vira 2x\cdot x e^{xy}=2x^{2} e^{xy}.
Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6x+2x^{2} e^{xy}.
Agora calculemos \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} rapidamente para conferir que dá o mesmo que \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}:
Derivando \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=6xy+2x e^{xy} em relação a x:
  • \frac{\partial}{\partial x}(6xy)=6y.
  • \frac{\partial}{\partial x}(2x e^{xy}) pela regra do produto: (2\cdot e^{xy}) + (2x\cdot y e^{xy}) = 2e^{xy} + 2xy e^{xy}.
    Somando dá 6y + 2e^{xy} + 2xy e^{xy}, que é exatamente o valor de \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}. Assim a Hessiana é simétrica como esperado.

Passo 10

Montagem final da matriz Hessiana:
Reunindo as entradas calculadas:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2y^{2} e^{xy},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=6y + 2e^{xy} + 2xy e^{xy},
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6x+2x^{2} e^{xy}.
Portanto a Hessiana é
Hf(x,y)=\begin{pmatrix} 2y^{2} e^{xy} & 6y + 2e^{xy} + 2xy e^{xy}\\[6pt] 6y + 2e^{xy} + 2xy e^{xy} & 6x + 2x^{2} e^{xy} \end{pmatrix}.]

Resposta

\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}3y^{2}+2y e^{xy}\\[6pt]6xy+2x e^{xy}\end{pmatrix}
Hf(x,y)=\begin{pmatrix} 2y^{2} e^{xy} & 6y + 2e^{xy} + 2xy e^{xy}\\[6pt] 6y + 2e^{xy} + 2xy e^{xy} & 6x + 2x^{2} e^{xy} \end{pmatrix}]

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