Encontre o vetor gradiente e a matriz hessiana para cada uma das seguintes funções: f(x, y)=3 x y^{2}+2 e^{x y}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem objetivas para a função
f(x,y)=3xy^{2}+2e^{xy}.
Perguntas que precisamos responder:
Encontrar o vetor gradiente \nabla f(x,y) (ou seja, as derivadas parciais primeiras).
Encontrar a matriz Hessiana Hf(x,y) (ou seja, todas as derivadas parciais segundas).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A função é explícita em termos de x e y: soma de um termo polinomial 3xy^{2} e um termo exponencial 2e^{xy}.
Não há restrições adicionais sobre x e y; podemos assumir que x,y\in\mathbb{R}.
A partir daqui vamos calcular passo a passo as derivadas parciais e montar gradiente e Hessiana.
Passo 2
O que é preciso saber (mini-aula prática):
Derivada parcial: para obter \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como constante e diferenciamos em relação a x; para \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante.
Regras que usaremos:
Regra do produto: \frac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Regra da cadeia: se g(x)=e^{h(x)}, então g'(x)=h'(x)e^{h(x)}.
Aplicação prática ao termo e^{xy}: ao derivar em relação a x, y é constante, então \frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y e^{xy}. Ao derivar em relação a y, \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x e^{xy}.
Vou aplicar essas regras explicitamente em cada derivada para você conseguir repetir na prova.
Passo 3
Cálculo de \frac{\partial f}{\partial x}:
Começo com a função
f(x,y)=3xy^{2}+2e^{xy}.
Derivo termo a termo em relação a x, lembrando que y é constante.
Para 3xy^{2}: é um produto 3x\cdot y^{2}, mas como y^{2} é constante, \frac{\partial}{\partial x}(3xy^{2})=3y^{2}.
Para 2e^{xy}: usar regra da cadeia. A constante 2 sai, e \frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y e^{xy}. Logo
\frac{\partial}{\partial x}(2e^{xy})=2\cdot y e^{xy}=2y e^{xy}.
Somando os dois termos:
\frac{\partial f}{\partial x}=3y^{2}+2y e^{xy}.
Passo 4
Cálculo de \frac{\partial f}{\partial y}:
Parto novamente de
f(x,y)=3xy^{2}+2e^{xy},
e derivo em relação a y (agora x é constante).
Para 3xy^{2}: é 3x\cdot y^{2}. Derivando em y: \frac{\partial}{\partial y}(3xy^{2})=3x\cdot 2y=6xy.
Para 2e^{xy}: aplicar regra da cadeia com x constante: \frac{\partial}{\partial y}e^{xy}=x e^{xy}. Logo
\frac{\partial}{\partial y}(2e^{xy})=2\cdot x e^{xy}=2x e^{xy}.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=6xy+2x e^{xy}.
Passo 5
Montagem do vetor gradiente:
O gradiente é o vetor das derivadas parciais primeiras:
Em funções “bem comportadas” as derivadas mistas são iguais (\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}). Vamos calcular cada entrada a partir das expressões do gradiente que já obtivemos.]
Passo 7
Cálculo de \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}:
Parto de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=3y^{2}+2y e^{xy}.
Derivando em relação a x: 3y^{2} é constante em x, então vira 0.
Para 2y e^{xy}: 2y é constante multiplicativa, e \frac{\partial}{\partial x}e^{xy}=y e^{xy}. Então
Agora calculemos \displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} rapidamente para conferir que dá o mesmo que \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}:
Derivando \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=6xy+2x e^{xy} em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}(6xy)=6y.
\frac{\partial}{\partial x}(2x e^{xy}) pela regra do produto: (2\cdot e^{xy}) + (2x\cdot y e^{xy}) = 2e^{xy} + 2xy e^{xy}.
Somando dá 6y + 2e^{xy} + 2xy e^{xy}, que é exatamente o valor de \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}. Assim a Hessiana é simétrica como esperado.