Nos itens seguintes determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou năo monótona.
a_{n}=\frac{5^{n}}{1+5^{2 n}}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede: foi dada a sequência
a_{n}=\frac{5^{n}}{1+5^{2n}}
e a pergunta é: a sequência é crescente, decrescente ou não monótona?
Informações relevantes que temos: para todo n natural, 5^{n}>0 e 5^{2n}=(5^{n})^{2}. Não há outra informação adicional sobre o índice n, então vamos tratar para n inteiro não negativo (o argumento vale igualmente se o índice começar em 1).

Passo 2

Definição e ideia do método (explicação didática):
  • Uma sequência (a_n) é crescente se, para todo n, a_{n+1}\ge a_n (estritamente crescente se a_{n+1}>a_n).
  • É decrescente se, para todo n, a_{n+1}\le a_n (estritamente decrescente se a_{n+1}<a_n).
    Para decidir isso podemos comparar termos consecutivos calculando a_{n+1}-a_n. Se essa diferença for sempre negativa, a sequência é estritamente decrescente; se for sempre positiva, é estritamente crescente; se muda de sinal, não é monótona.

Passo 3

Simplificação útil e substituição para facilitar contas: defino
t=5^{n}.
Assim t>0 e t^{2}=5^{2n}. Reescrevo os termos consecutivos em função de t:
a_{n}=\frac{t}{1+t^{2}}, \qquad a_{n+1}=\frac{5^{\,n+1}}{1+5^{2(n+1)}}=\frac{5t}{1+25t^{2}}.
Explico: troquei 5^{n} por t e usei 5^{2(n+1)}=25\cdot 5^{2n}=25t^{2}.

Passo 4

Cálculo da diferença a_{n+1}-a_n passo a passo:
a_{n+1}-a_n=\frac{5t}{1+25t^{2}}-\frac{t}{1+t^{2}}.
Coloco em denominador comum (1+25t^{2})(1+t^{2}):
a_{n+1}-a_n =\frac{5t(1+t^{2})-t(1+25t^{2})}{(1+25t^{2})(1+t^{2})}.
Faço as multiplicações no numerador:
5t(1+t^{2})-t(1+25t^{2})=5t+5t^{3}-t-25t^{3}=4t-20t^{3}=4t(1-5t^{2}).
Portanto
a_{n+1}-a_n=\frac{4t(1-5t^{2})}{(1+25t^{2})(1+t^{2})}.

Passo 5

Análise do sinal da diferença (o que decide a monotonicidade):
  • Observação: t=5^{n}>0, logo o fator 4t é estritamente positivo.
  • O denominador (1+25t^{2})(1+t^{2}) é produto de termos estritamente positivos, portanto é positivo.
  • O sinal da fração vem do fator 1-5t^{2}. Substituindo t^{2}=5^{2n} temos
1-5t^{2}=1-5\cdot 5^{2n}=1-5^{2n+1}.
Para qualquer inteiro n\ge 0 temos 5^{2n+1}\ge 5, então 1-5^{2n+1}<0. Assim o fator 1-5t^{2} é negativo para todo n\ge 0.
Conclui-se que o numerador 4t(1-5t^{2}) é negativo e o denominador é positivo, portanto
a_{n+1}-a_n<0\quad\text{para todo }n\ge 0.
Isso diz que cada termo seguinte é menor que o anterior, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 6

Observação alternativa (intuição extra, opcional): note que a função g(t)=\dfrac{t}{1+t^{2}} tem derivada
g'(t)=\frac{1-t^{2}}{(1+t^{2})^{2}},
que é negativa para t>1. Como t=5^{n}\ge 1 para n\ge 0 (e cresce com n), g diminui quando t aumenta, o que dá a mesma conclusão: à medida que n cresce, t cresce e a_n=g(t) decresce.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente.

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