Nos itens seguintes determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou năo monótona.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede: foi dada a sequência
e a pergunta é: a sequência é crescente, decrescente ou não monótona?
Informações relevantes que temos: para todo natural,
e
. Não há outra informação adicional sobre o índice
, então vamos tratar para
inteiro não negativo (o argumento vale igualmente se o índice começar em
).
Informações relevantes que temos: para todo
Passo 2
Definição e ideia do método (explicação didática):
- Uma sequência
é crescente se, para todo , (estritamente crescente se ). - É decrescente se, para todo
, (estritamente decrescente se ).
Para decidir isso podemos comparar termos consecutivos calculando. Se essa diferença for sempre negativa, a sequência é estritamente decrescente; se for sempre positiva, é estritamente crescente; se muda de sinal, não é monótona.
Passo 3
Simplificação útil e substituição para facilitar contas: defino
Assim
e
. Reescrevo os termos consecutivos em função de
:
Explico: troquei
por
e usei
.
Passo 4
Cálculo da diferença
passo a passo:
Coloco em denominador comum
:
Faço as multiplicações no numerador:
Portanto
Passo 5
Análise do sinal da diferença (o que decide a monotonicidade):
- Observação:
, logo o fator é estritamente positivo. - O denominador
é produto de termos estritamente positivos, portanto é positivo. - O sinal da fração vem do fator
. Substituindo temos
Para qualquer inteiro
temos
, então
. Assim o fator
é negativo para todo
.
Conclui-se que o numerador é negativo e o denominador é positivo, portanto
Conclui-se que o numerador
Isso diz que cada termo seguinte é menor que o anterior, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 6
Observação alternativa (intuição extra, opcional): note que a função
tem derivada
que é negativa para
. Como
para
(e cresce com
),
diminui quando
aumenta, o que dá a mesma conclusão: à medida que
cresce,
cresce e
decresce.
Resposta
A sequência é estritamente decrescente.