Encontre o gradiente das funções a seguir.
f (x, y)=x^{2}+4 y^{2}, \operatorname{em}(-2,0)
f(x, y)=x^{2}+4 y^{2} \text { ern }(-2,0)
\frac{\partial f}{\partial x}=2 x \quad \frac{\partial f}{\partial y}=8 y
\frac{\partial f}{\partial x}(-2,0)=-4 \quad \frac{\partial f}{\partial y}=80=0 \quad \nabla f(-2,0)=(-4,0)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de duas funções de duas variáveis:
f(x,y)=x^{2}+4y^{2}\quad\text{em}\;(-2,0)
g(x,y)=(x^{2}+xy)^{3}\quad\text{em}\;(1,1).
Para isso vamos usar a definição de gradiente como o vetor das derivadas parciais e aplicar regras básicas (derivada de potência, regra do produto e cadeia).

Passo 2

Lembrando que o gradiente de uma função h(x,y) é
\nabla h(x,y)=\Bigl(\frac{\partial h}{\partial x},\,\frac{\partial h}{\partial y}\Bigr).
Para cada função calculamos primeiro as derivadas parciais simbólicas e em seguida fazemos a substituição do ponto indicado.

Passo 3

Para f(x,y)=x^{2}+4y^{2} temos:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=8y.

Passo 4

Substituindo (x,y)=(-2,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(-2,0)=2\cdot(-2)=-4, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(-2,0)=8\cdot0=0.
Logo
\nabla f(-2,0)=(-4,0).

Passo 5

Agora para g(x,y)=(x^{2}+xy)^{3} usamos a regra da cadeia. Seja u=x^{2}+xy, então g(u)=u^{3}. Temos
\frac{\partial g}{\partial x} =3u^{2}\,\frac{\partial u}{\partial x} =3(x^{2}+xy)^{2}\,(2x+y),
\frac{\partial g}{\partial y} =3u^{2}\,\frac{\partial u}{\partial y} =3(x^{2}+xy)^{2}\,(x).

Passo 6

Substituindo (x,y)=(1,1) em u= x^{2}+xy=1+1=2:
\frac{\partial g}{\partial x}(1,1) =3\cdot2^{2}\cdot(2\cdot1+1) =3\cdot4\cdot3 =36,
\frac{\partial g}{\partial y}(1,1) =3\cdot2^{2}\cdot1 =3\cdot4\cdot1 =12.
Portanto
\nabla g(1,1)=(36,12).

Resposta

Para f(x,y)=x^{2}+4y^{2} em (-2,0):
\nabla f(-2,0)=(-4,0).
Para g(x,y)=(x^{2}+xy)^{3} em (1,1):
\nabla g(1,1)=(36,12).

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