Determine f_{x} e f_{y} em cada caso.
f(x, y)=4 e^{x^{2} y^{3}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y)=4e^{x^2y^3}
em relação a x e a y. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia: se temos f(x,y)=4e^{u(x,y)}, então
\frac{\partial f}{\partial x}=4e^{u(x,y)}\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=4e^{u(x,y)}\frac{\partial u}{\partial y}.
No nosso caso, u(x,y)=x^2y^3.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, primeiro calculamos
\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x^2y^3) =2x\,y^3.
Aplicando a regra da cadeia:
f_x(x,y) =4e^{x^2y^3}\cdot(2x\,y^3) =8x\,y^3\,e^{x^2y^3}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, primeiro calculamos
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x^2y^3) =x^2\cdot3y^2 =3x^2y^2.
Aplicando a regra da cadeia:
f_y(x,y) =4e^{x^2y^3}\cdot(3x^2y^2) =12x^2y^2\,e^{x^2y^3}.

Resposta

f_x(x,y)=8x\,y^3\,e^{x^2y^3}, \qquad f_y(x,y)=12x^2y^2\,e^{x^2y^3}.

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