Encontre o gradiente das seguintes funções no ponto dado.
w=x \tan (y+z), \quad(4,3,-1)

Passo 1

O enunciado dá a função w = x \tan(y+z) e pede o gradiente dessa função no ponto (4,3,-1).
Informações fornecidas:
  • A função depende de três variáveis: x, y e z.
  • O ponto onde devemos avaliar o gradiente é (x,y,z)=(4,3,-1).
O que se pede:
  • Calcular \nabla w(4,3,-1), isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais \displaystyle\left(\frac{\partial w}{\partial x},\frac{\partial w}{\partial y},\frac{\partial w}{\partial z}\right) avaliadas nesse ponto.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo:
  • O gradiente de uma função w(x,y,z) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla w = \left(\frac{\partial w}{\partial x},\frac{\partial w}{\partial y},\frac{\partial w}{\partial z}\right).
  • Cada derivada parcial trata as outras variáveis como constantes e diferencia em relação à variável indicada.
  • Vamos usar duas regras básicas:
    1. Derivada de produto: se u(x)\cdot v(x), então (uv)'=u'v+uv'.
    2. Regra da cadeia: se f(u(x)), então \dfrac{d}{dx}f(u(x))=f'(u(x))\cdot u'(x).
  • A função tangente tem derivada
\frac{d}{dt}\tan t = \operatorname{sec}^2 t,
onde \operatorname{sec} t = \dfrac{1}{\cos t}, logo \operatorname{sec}^2 t = \dfrac{1}{\cos^2 t}.

Passo 3

Calcular \displaystyle\frac{\partial w}{\partial x}:
  • Trate y e z como constantes. A função é produto de x por \tan(y+z), onde \tan(y+z) é constante em relação a x.
  • Aplicando a regra do produto (ou observando que é constante vezes x),
\frac{\partial w}{\partial x}=\tan(y+z).

Passo 4

Calcular \displaystyle\frac{\partial w}{\partial y}:
  • Aqui x é constante e temos w = x\cdot \tan(u) com u=y+z.
  • Aplicando regra da cadeia: derivada de \tan(u) em relação a y é \operatorname{sec}^2(u)\cdot \dfrac{du}{dy}.
  • Como u=y+z, tem-se \dfrac{du}{dy}=1.
  • Portanto
\frac{\partial w}{\partial y}=x\cdot \operatorname{sec}^2(y+z)\cdot 1 = x\operatorname{sec}^2(y+z).

Passo 5

Calcular \displaystyle\frac{\partial w}{\partial z}:
  • O raciocínio é análogo ao do passo anterior, porque u=y+z e \dfrac{du}{dz}=1.
  • Assim
\frac{\partial w}{\partial z}=x\operatorname{sec}^2(y+z).

Passo 6

Resumo das derivadas parciais gerais:
\frac{\partial w}{\partial x}=\tan(y+z),\qquad \frac{\partial w}{\partial y}=x\operatorname{sec}^2(y+z),\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=x\operatorname{sec}^2(y+z).
Agora avaliar no ponto (4,3,-1):
  • Primeiro calcule y+z no ponto:
y+z = 3 + (-1) = 2.
  • Substituindo x=4 e y+z=2:
\frac{\partial w}{\partial x}(4,3,-1)=\tan(2),
\frac{\partial w}{\partial y}(4,3,-1)=4\operatorname{sec}^2(2),
\frac{\partial w}{\partial z}(4,3,-1)=4\operatorname{sec}^2(2).
Para referência rápida: \operatorname{sec}^2(2)=\dfrac{1}{\cos^2(2)}. Se quiser aproximações numéricas, \tan(2)\approx -2{,}185 e \operatorname{sec}^2(2)\approx 5{,}772, então 4\operatorname{sec}^2(2)\approx 23{,}088 (mas a resposta exata em termos de \tan e \operatorname{sec} é preferível).

Resposta

\nabla w(4,3,-1)=\bigl(\tan(2),\;4\operatorname{sec}^2(2),\;4\operatorname{sec}^2(2)\bigr)

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