Encontre o gradiente das seguintes funções no ponto dado.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o gradiente dessa função no ponto
.
Informações fornecidas:
- A função depende de três variáveis:
, e . - O ponto onde devemos avaliar o gradiente é
.
O que se pede:
- Calcular
, isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais avaliadas nesse ponto.
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calculá‑lo:
- O gradiente de uma função
é o vetor das derivadas parciais:
- Cada derivada parcial trata as outras variáveis como constantes e diferencia em relação à variável indicada.
- Vamos usar duas regras básicas:
- Derivada de produto: se
, então . - Regra da cadeia: se
, então .
- Derivada de produto: se
- A função tangente tem derivada
onde
, logo
.
Passo 3
Calcular
:
- Trate
e como constantes. A função é produto de por , onde é constante em relação a . - Aplicando a regra do produto (ou observando que é constante vezes
),
Passo 4
Calcular
:
- Aqui
é constante e temos com . - Aplicando regra da cadeia: derivada de
em relação a é . - Como
, tem-se . - Portanto
Passo 5
Calcular
:
- O raciocínio é análogo ao do passo anterior, porque
e . - Assim
Passo 6
Resumo das derivadas parciais gerais:
Agora avaliar no ponto
:
- Primeiro calcule
no ponto:
- Substituindo
e :
Para referência rápida:
. Se quiser aproximações numéricas,
e
, então
(mas a resposta exata em termos de
e
é preferível).