Encontre o gradiente das seguintes funções no ponto dado.
z=\ln \left(x^{2}-y\right), \quad(2,3)

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre o gradiente das seguintes funções no ponto dado.” A função e o ponto fornecidos são:
  • Função: z=\ln\left(x^{2}-y\right).
  • Ponto onde avaliar: (2,3).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma composição da função logarítmica natural com a expressão x^{2}-y.
  • Para que z esteja bem definida é necessário que x^{2}-y>0; preciso checar isso no ponto dado.
  • O que se pede é o gradiente em (2,3), isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais de z em relação a x e a y avaliadas em (2,3).

Passo 2

O que é o gradiente (explicação didática e curta): o gradiente de uma função z=f(x,y) é o vetor que reúne as derivadas parciais em relação a cada variável. Em termos práticos:
\nabla z(x,y)=\left(\frac{\partial z}{\partial x}(x,y),\\ \frac{\partial z}{\partial y}(x,y)\right).
Cada componente diz a taxa de variação instantânea de z quando só uma das variáveis muda e a outra fica fixa. Para calcular essas derivadas parciais usamos as regras usuais de derivação (derivada da soma, produto, cadeia etc.), tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Verificação do domínio no ponto: é preciso garantir que \ln receba argumento positivo.
Calcular x^{2}-y em (2,3):
x^{2}-y = 2^{2}-3 = 4-3 = 1.
Como 1>0, o ponto (2,3) está no domínio da função e a avaliação do gradiente é válida.

Passo 4

Preparar para aplicar a regra da cadeia: escrevemos a função como composição z=\ln\big(u(x,y)\big) com
u(x,y)=x^{2}-y.
Vamos primeiro obter as derivadas parciais de u, pois a derivada da composição usará \nabla u.
Calcular as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}-y\big)=2x,
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}-y\big)=-1.
Aqui, ao derivar em relação a x tratou-se y como constante, e ao derivar em relação a y tratou-se x como constante.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para z=\ln\big(u(x,y)\big): se z=\ln(u) então \dfrac{d}{du}\ln(u)=\dfrac{1}{u}. Para derivadas parciais, multiplica-se por a derivada parcial de u. Assim:
\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}(x,y),
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}(x,y).
Explicando em palavras: muda-se primeiro pelo efeito da variação interna u (fator 1/u) e depois pelo quanto u muda quando se varia x ou y (as \partial u/\partial x e \partial u/\partial y).

Passo 6

Substituir u(x,y)=x^{2}-y e as derivadas de u obtidas no Passo 4 nas fórmulas do Passo 5 para obter as derivadas parciais explícitas:
\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{x^{2}-y}\cdot(2x)=\frac{2x}{x^{2}-y},
\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{x^{2}-y}\cdot(-1)=-\frac{1}{x^{2}-y}.
Essas expressões valem para todo (x,y) no domínio x^{2}-y>0.

Passo 7

Avaliar as derivadas parciais em (2,3). Primeiro calculemos o denominador comum:
x^{2}-y\big|_{(2,3)} = 2^{2}-3 = 1.
Agora substituímos em cada componente:
\frac{\partial z}{\partial x}(2,3)=\frac{2\cdot 2}{1}=4,
\frac{\partial z}{\partial y}(2,3)=-\frac{1}{1}=-1.

Passo 8

Formar o vetor gradiente em (2,3) com as componentes calculadas:
\nabla z(2,3)=\big(4,\,-1\big).
Interpretação curta e motivadora: isso significa que, no ponto (2,3), se eu aumento x em uma unidade mantendo y fixo, z aumenta aproximadamente 4 unidades; se aumento y em uma unidade mantendo x fixo, z diminui aproximadamente 1 unidade. Bom trabalho chegando até aqui — já era metade da prova! 😉

Resposta

\nabla z(2,3)=\big(4,-1\big)

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