Encontre o gradiente das seguintes funções no ponto dado. z=\ln \left(x^{2}-y\right), \quad(2,3)
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre o gradiente das seguintes funções no ponto dado.” A função e o ponto fornecidos são:
Função: z=\ln\left(x^{2}-y\right).
Ponto onde avaliar: (2,3).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A função é uma composição da função logarítmica natural com a expressão x^{2}-y.
Para que z esteja bem definida é necessário que x^{2}-y>0; preciso checar isso no ponto dado.
O que se pede é o gradiente em (2,3), isto é, o vetor formado pelas derivadas parciais de z em relação a x e a y avaliadas em (2,3).
Passo 2
O que é o gradiente (explicação didática e curta): o gradiente de uma função z=f(x,y) é o vetor que reúne as derivadas parciais em relação a cada variável. Em termos práticos:
Cada componente diz a taxa de variação instantânea de z quando só uma das variáveis muda e a outra fica fixa. Para calcular essas derivadas parciais usamos as regras usuais de derivação (derivada da soma, produto, cadeia etc.), tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Verificação do domínio no ponto: é preciso garantir que \ln receba argumento positivo.
Calcular x^{2}-y em (2,3):
x^{2}-y = 2^{2}-3 = 4-3 = 1.
Como 1>0, o ponto (2,3) está no domínio da função e a avaliação do gradiente é válida.
Passo 4
Preparar para aplicar a regra da cadeia: escrevemos a função como composição z=\ln\big(u(x,y)\big) com
u(x,y)=x^{2}-y.
Vamos primeiro obter as derivadas parciais de u, pois a derivada da composição usará \nabla u.
Aqui, ao derivar em relação a x tratou-se y como constante, e ao derivar em relação a y tratou-se x como constante.
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para z=\ln\big(u(x,y)\big): se z=\ln(u) então \dfrac{d}{du}\ln(u)=\dfrac{1}{u}. Para derivadas parciais, multiplica-se por a derivada parcial de u. Assim:
Explicando em palavras: muda-se primeiro pelo efeito da variação interna u (fator 1/u) e depois pelo quanto u muda quando se varia x ou y (as \partial u/\partial x e \partial u/\partial y).
Passo 6
Substituir u(x,y)=x^{2}-y e as derivadas de u obtidas no Passo 4 nas fórmulas do Passo 5 para obter as derivadas parciais explícitas:
Formar o vetor gradiente em (2,3) com as componentes calculadas:
\nabla z(2,3)=\big(4,\,-1\big).
Interpretação curta e motivadora: isso significa que, no ponto (2,3), se eu aumento x em uma unidade mantendo y fixo, z aumenta aproximadamente 4 unidades; se aumento y em uma unidade mantendo x fixo, z diminui aproximadamente 1 unidade. Bom trabalho chegando até aqui — já era metade da prova! 😉