Encontre o gradiente das seguintes funções no ponto dado.
z=\cos \left(x^{2}+y^{2}\right), \quad(3,-4)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o gradiente da função z=\cos\left(x^{2}+y^{2}\right) no ponto (3,-4).
Informações dadas:
  • A função é z=\cos\left(x^{2}+y^{2}\right).
  • O ponto onde queremos o gradiente é (3,-4).

Passo 2

O que é o gradiente: o gradiente de uma função escalar z(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a x e a y:
\nabla z(x,y)=\left(\frac{\partial z}{\partial x}(x,y),\,\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)\right).
Isso significa que, para achar o gradiente, precisamos calcular as duas derivadas parciais separadamente. A derivada parcial em x trata y como constante; a derivada parcial em y trata x como constante.

Passo 3

Reescrevendo a função como composição para aplicar a regra da cadeia: seja
u(x,y)=x^{2}+y^{2}, \qquad z(u)=\cos(u).
Então z(x,y)=\cos(u(x,y)). A regra da cadeia para derivadas parciais diz que
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{dz}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Sabendo que \dfrac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u), obtemos o fator -\sin(u) ao derivar a parte externa.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de u:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+y^{2}\big)=2x, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y^{2}\big)=2y.
Aqui usamos que y^{2} é tratado como constante ao derivar em relação a x, e x^{2} é tratado como constante ao derivar em relação a y.

Passo 5

Juntando a regra da cadeia com as derivadas de u, obtemos as derivadas parciais de z:
\frac{\partial z}{\partial x}=-\sin\big(x^{2}+y^{2}\big)\cdot 2x = -2x\,\sin\big(x^{2}+y^{2}\big),
\frac{\partial z}{\partial y}=-\sin\big(x^{2}+y^{2}\big)\cdot 2y = -2y\,\sin\big(x^{2}+y^{2}\big).
Essas são fórmulas gerais válidas para qualquer ponto (x,y).

Passo 6

Agora avaliamos as fórmulas no ponto (3,-4). Primeiro calcule x^{2}+y^{2} no ponto:
3^{2}+(-4)^{2}=9+16=25.
Substituindo em cada parcial:
\frac{\partial z}{\partial x}(3,-4)=-2\cdot 3\cdot \sin(25)=-6\sin(25),
\frac{\partial z}{\partial y}(3,-4)=-2\cdot (-4)\cdot \sin(25)=8\sin(25).
Observação útil para prova: o argumento de \sin está em radianos a menos que o enunciado diga o contrário.

Passo 7

Interpretação rápida e dica de apresentação: no rascunho da prova escreva claramente a definição do gradiente, aplique a regra da cadeia mostrando u=x^{2}+y^{2}, calcule u_x e u_y, depois substitua o ponto. Isso evita erros de sinais e fatores.

Resposta

\nabla z(3,-4)=\bigl(-6\sin(25),\,8\sin(25)\bigr)

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