Encontre o gradiente das seguintes funções no ponto dado.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o gradiente da função
no ponto
.
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos o gradiente é
.
Passo 2
O que é o gradiente: o gradiente de uma função escalar
é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a
e a
:
Isso significa que, para achar o gradiente, precisamos calcular as duas derivadas parciais separadamente. A derivada parcial em
trata
como constante; a derivada parcial em
trata
como constante.
Passo 3
Reescrevendo a função como composição para aplicar a regra da cadeia: seja
Então
. A regra da cadeia para derivadas parciais diz que
Sabendo que
, obtemos o fator
ao derivar a parte externa.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
:
Aqui usamos que
é tratado como constante ao derivar em relação a
, e
é tratado como constante ao derivar em relação a
.
Passo 5
Juntando a regra da cadeia com as derivadas de
, obtemos as derivadas parciais de
:
Essas são fórmulas gerais válidas para qualquer ponto
.
Passo 6
Agora avaliamos as fórmulas no ponto
. Primeiro calcule
no ponto:
Substituindo em cada parcial:
Observação útil para prova: o argumento de
está em radianos a menos que o enunciado diga o contrário.
Passo 7
Interpretação rápida e dica de apresentação: no rascunho da prova escreva claramente a definição do gradiente, aplique a regra da cadeia mostrando
, calcule
e
, depois substitua o ponto. Isso evita erros de sinais e fatores.