Encontre h^{\prime} em termos de f^{\prime} e g^{\prime} se
h(x)=f(g(\sin (4 x)))

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar h^{\prime}(x) em termos de f^{\prime} e g^{\prime} quando
h(x)=f\bigl(g(\sin(4x))\bigr).
Informações dadas:
  • A função composta é h(x)=f\bigl(g(\sin(4x))\bigr).
  • f^{\prime} e g^{\prime} representam as derivadas de f e g, respectivamente.
  • Queremos expressar h^{\prime}(x) usando f^{\prime}, g^{\prime} e as derivadas óbvias de \sin(4x) / 4x.

Passo 2

Conceito-chave (cadeia para duas funções): se tivermos duas funções compostas y=f(u) e u=g(x), a derivada de y em relação a x é dada pela regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=f'(u)\cdot g'(x).
Aqui f'(u) significa a derivada de f avaliada no ponto u=g(x). Em palavras: derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna. Exemplo rápido: se y=(g(x))^2 com f(u)=u^2, então y'=2g(x)\cdot g'(x).

Passo 3

Extensão para três composições: se h(x)=f\bigl(g(s(x))\bigr), aplicamos a regra da cadeia duas vezes (uma por cada nível de composição) e obtemos
h'(x)=f'\bigl(g(s(x))\bigr)\cdot g'\bigl(s(x)\bigr)\cdot s'(x).
Interpretação: derivamos a função mais externa f (avaliada na próxima função), multiplicamos pela derivada da função do meio g (avaliada na função mais interna), e finalmente multiplicamos pela derivada da função mais interna s(x).

Passo 4

Identificação no problema: comparar com o caso geral usando s(x)=\sin(4x). Assim,
h'(x)=f'\bigl(g(\sin(4x))\bigr)\cdot g'\bigl(\sin(4x)\bigr)\cdot \frac{d}{dx}\bigl[\sin(4x)\bigr].
Agora precisamos calcular \dfrac{d}{dx}\bigl[\sin(4x)\bigr].

Passo 5

Derivada de \sin(4x): aplicar a regra da cadeia mais uma vez, sabendo que \dfrac{d}{du}\sin u=\cos u e \dfrac{d}{dx}(4x)=4. Então
\frac{d}{dx}\bigl[\sin(4x)\bigr]=\cos(4x)\cdot 4 = 4\cos(4x).
Substituindo isso na expressão do Passo 4 obtemos a fórmula completa de h'(x):
h'(x)=f'\bigl(g(\sin(4x))\bigr)\cdot g'\bigl(\sin(4x)\bigr)\cdot 4\cos(4x).
Podemos reescrever de forma mais organizada multiplicando o 4 à frente.

Passo 6

Interpretação final e dica para prova: a expressão significa que você avalia f' no ponto g(\sin(4x)), avalia g' no ponto \sin(4x), e multiplica por 4\cos(4x). Na prova, proceda exatamente nesse passo-a-passo: desmonte a composição e aplique a regra da cadeia nível a nível. Força — você consegue!

Resposta

h'(x)=4\,f'\bigl(g(\sin(4x))\bigr)\,g'\bigl(\sin(4x)\bigr)\,\cos(4x)

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