Encontre
em termos de
e
se
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar
em termos de
e
quando
Informações dadas:
- A função composta é
. -
e representam as derivadas de e , respectivamente. - Queremos expressar
usando , e as derivadas óbvias de / .
Passo 2
Conceito-chave (cadeia para duas funções): se tivermos duas funções compostas
e
, a derivada de
em relação a
é dada pela regra da cadeia:
Aqui
significa a derivada de
avaliada no ponto
. Em palavras: derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna. Exemplo rápido: se
com
, então
.
Passo 3
Extensão para três composições: se
, aplicamos a regra da cadeia duas vezes (uma por cada nível de composição) e obtemos
Interpretação: derivamos a função mais externa
(avaliada na próxima função), multiplicamos pela derivada da função do meio
(avaliada na função mais interna), e finalmente multiplicamos pela derivada da função mais interna
.
Passo 4
Identificação no problema: comparar com o caso geral usando
. Assim,
Agora precisamos calcular
.
Passo 5
Derivada de
: aplicar a regra da cadeia mais uma vez, sabendo que
e
. Então
Substituindo isso na expressão do Passo 4 obtemos a fórmula completa de
:
Podemos reescrever de forma mais organizada multiplicando o
à frente.
Passo 6
Interpretação final e dica para prova: a expressão significa que você avalia
no ponto
, avalia
no ponto
, e multiplica por
. Na prova, proceda exatamente nesse passo-a-passo: desmonte a composição e aplique a regra da cadeia nível a nível. Força — você consegue!