Encontre
e
na identidade abaixo
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
e
tais que a identidade abaixo seja verdadeira para todo
:
Informações dadas:
- A expressão do lado esquerdo é
. - O lado direito contém fatores
, , e . - Os incógnitos a determinar são
e .
Passo 2
Lembrete trigonométrico fundamental que vamos usar (mostrado passo a passo):
A identidade pitagórica básica é
A identidade pitagórica básica é
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
) obtemos
Como
e
, a igualdade vira
Passo 3
Da identidade do Passo 2 isolamos
Esta igualdade é muito útil porque permite transformar potências de
em potências de
.
Passo 4
Substituímos
por
. Então o lado direito fica
Passo 5
Aplicamos agora regras de expoentes (lembrando e explicando devagar):
- Regra 1:
. - Regra 2:
.
Usando Regra 1 em
obtemos
Portanto o lado direito fica
Passo 6
Agora grupos os fatores com a mesma base usando Regra 2:
- Para
: . - Para
: .
Assim o lado direito simplifica para
Passo 7
Comparando com o lado esquerdo
, igualamos os expoentes correspondentes (porque duas potências de
e
são iguais para todo
apenas se os expoentes iguais):
Passo 8
Resolva as equações simples:
Da primeira,
Da primeira,
Da segunda,
Passo 9
Verificação rápida (substituir de volta):
Com e
temos
, então o lado direito fica
Com
igual ao lado esquerdo. Está consistente.
Passo 10
Dica prática para prova: sempre procure reduzir fatores do tipo
usando
e depois iguale expoentes base a base. Isso evita cálculos longos.