Encontre A e B na identidade abaixo
\operatorname{tg}^{9}(x) \operatorname{sec} ^{6}(x)=\operatorname{tg}(x) \operatorname{sec} (x)\left(\operatorname{sec} ^{2}(x)-1\right)^{A} \operatorname{sec} ^{B}(x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar A e B tais que a identidade abaixo seja verdadeira para todo x:
\operatorname{tg}^{9}(x)\operatorname{sec}^{6}(x)=\operatorname{tg}(x)\operatorname{sec}(x)\big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{A}\operatorname{sec}^{B}(x).
Informações dadas:
  • A expressão do lado esquerdo é \operatorname{tg}^{9}(x)\operatorname{sec}^{6}(x).
  • O lado direito contém fatores \operatorname{tg}(x), \operatorname{sec}(x), \big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{A} e \operatorname{sec}^{B}(x).
  • Os incógnitos a determinar são A e B.

Passo 2

Lembrete trigonométrico fundamental que vamos usar (mostrado passo a passo):
A identidade pitagórica básica é
\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1.
Dividindo ambos os lados por \cos^{2}(x) (assumindo \cos x\neq0) obtemos
\frac{\sin^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}+1=\frac{1}{\cos^{2}(x)}.
Como \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}=\operatorname{tg}(x) e \dfrac{1}{\cos(x)}=\operatorname{sec}(x), a igualdade vira
\operatorname{tg}^{2}(x)+1=\operatorname{sec}^{2}(x).

Passo 3

Da identidade do Passo 2 isolamos
\operatorname{sec}^{2}(x)-1=\operatorname{tg}^{2}(x).
Esta igualdade é muito útil porque permite transformar potências de \operatorname{sec}^{2}(x)-1 em potências de \operatorname{tg}(x).

Passo 4

Substituímos \big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{A} por \big(\operatorname{tg}^{2}(x)\big)^{A}. Então o lado direito fica
\operatorname{tg}(x)\operatorname{sec}(x)\big(\operatorname{tg}^{2}(x)\big)^{A}\operatorname{sec}^{B}(x).

Passo 5

Aplicamos agora regras de expoentes (lembrando e explicando devagar):
  • Regra 1: (a^{m})^{n}=a^{mn}.
  • Regra 2: a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}.
Usando Regra 1 em \big(\operatorname{tg}^{2}(x)\big)^{A} obtemos
\big(\operatorname{tg}^{2}(x)\big)^{A}=\operatorname{tg}^{2A}(x).
Portanto o lado direito fica
\operatorname{tg}(x)\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}^{2A}(x)\operatorname{sec}^{B}(x).

Passo 6

Agora grupos os fatores com a mesma base usando Regra 2:
  • Para \operatorname{tg}: \operatorname{tg}(x)\cdot\operatorname{tg}^{2A}(x)=\operatorname{tg}^{1+2A}(x).
  • Para \operatorname{sec}: \operatorname{sec}(x)\cdot\operatorname{sec}^{B}(x)=\operatorname{sec}^{1+B}(x).
Assim o lado direito simplifica para
\operatorname{tg}^{1+2A}(x)\operatorname{sec}^{1+B}(x).

Passo 7

Comparando com o lado esquerdo \operatorname{tg}^{9}(x)\operatorname{sec}^{6}(x), igualamos os expoentes correspondentes (porque duas potências de \operatorname{tg} e \operatorname{sec} são iguais para todo x apenas se os expoentes iguais):
1+2A=9, \qquad 1+B=6.

Passo 8

Resolva as equações simples:
Da primeira,
2A=9-1=8 \quad\Rightarrow\quad A=4.
Da segunda,
B=6-1=5.

Passo 9

Verificação rápida (substituir de volta):
Com A=4 e B=5 temos \big(\operatorname{sec}^{2}(x)-1\big)^{4}=\operatorname{tg}^{8}(x), então o lado direito fica
\operatorname{tg}(x)\operatorname{sec}(x)\operatorname{tg}^{8}(x)\operatorname{sec}^{5}(x)=\operatorname{tg}^{9}(x)\operatorname{sec}^{6}(x),
igual ao lado esquerdo. Está consistente.

Passo 10

Dica prática para prova: sempre procure reduzir fatores do tipo \operatorname{sec}^{2}(x)-1 usando \operatorname{sec}^{2}(x)-1=\operatorname{tg}^{2}(x) e depois iguale expoentes base a base. Isso evita cálculos longos.

Resposta

A=4
B=5

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