Determine os valores de
que satisfazem a equação
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: determinar todos os valores de
que satisfazem a equação
- Informações relevantes dadas: a incógnita é
(ângulo real) e a função envolvida é a função seno em potências. Não há mais dados numéricos no enunciado.
Passo 2
Primeira ideia prática: reduzir a equação a uma equação polinomial usando uma substituição. Isso é comum quando aparecem potências de
. Definimos a nova variável
Explicando essa escolha: como
, a equação fica em
como um polinômio de grau 2. Observe também que, por definição de quadrado,
Agora reescrevemos a equação em termos de
.
Passo 3
Substituindo na equação temos:
Agora resolvemos essa equação quadrática. Para uma quadrática
usamos a fórmula de Bhaskara:
onde
,
,
. Calculamos o discriminante:
Portanto as raízes são
Passo 4
Escolha da raiz válida usando o intervalo de
. As duas raízes são
Numérico aproximado:
Mas lembrando que
deve satisfazer
. Logo
é impossível (é negativo) e deve ser descartada. Mantemos
Passo 5
Passo seguinte: extrair
. Da igualdade
segue
Definimos para simplificar
Observação numérica:
(mas o valor exato em forma radical acima é o que importa).
Passo 6
Resolver a equação trigonométrica
. Lembrete prático sobre soluções de
com
:
- Uma forma compacta e muito útil para todas as soluções é
onde
(escolhida no intervalo
). Essa fórmula gera as duas séries de soluções
e
de forma única usando
.
No nosso caso . Tomando
com
, a fórmula
No nosso caso
já gera as soluções para
e
(os sinais aparecem por variação de
). Portanto as soluções gerais são