Determine os valores de x que satisfazem a equação
\operatorname{sen}^{4}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)=1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar todos os valores de x que satisfazem a equação
\operatorname{sen}^{4}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)=1.
  • Informações relevantes dadas: a incógnita é x (ângulo real) e a função envolvida é a função seno em potências. Não há mais dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Primeira ideia prática: reduzir a equação a uma equação polinomial usando uma substituição. Isso é comum quando aparecem potências de \operatorname{sen}(x). Definimos a nova variável
y=\operatorname{sen}^{2}(x).
Explicando essa escolha: como \operatorname{sen}^{4}(x)=\big(\operatorname{sen}^{2}(x)\big)^{2}, a equação fica em y como um polinômio de grau 2. Observe também que, por definição de quadrado,
0\le y \le 1.
Agora reescrevemos a equação em termos de y.

Passo 3

Substituindo na equação temos:
y^{2}+y-1=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Para uma quadrática y^{2}+y-1=0 usamos a fórmula de Bhaskara:
y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a=1, b=1, c=-1. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=1+4=5.
Portanto as raízes são
y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}.

Passo 4

Escolha da raiz válida usando o intervalo de y. As duas raízes são
y_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},\qquad y_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}.
Numérico aproximado:
y_{1}\approx 0,618033\ldots,\qquad y_{2}\approx -1,618033\ldots
Mas lembrando que y=\operatorname{sen}^{2}(x) deve satisfazer 0\le y\le1. Logo y_{2} é impossível (é negativo) e deve ser descartada. Mantemos
\operatorname{sen}^{2}(x)=y_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.

Passo 5

Passo seguinte: extrair \operatorname{sen}(x). Da igualdade \operatorname{sen}^{2}(x)=y_{1} segue
\operatorname{sen}(x)=\pm\sqrt{y_{1}}=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}.
Definimos para simplificar
s_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}.
Observação numérica: s_{0}\approx 0,786151\ldots (mas o valor exato em forma radical acima é o que importa).

Passo 6

Resolver a equação trigonométrica \operatorname{sen}(x)=\pm s_{0}. Lembrete prático sobre soluções de \operatorname{sen}(x)=a com -1\le a\le1:
  • Uma forma compacta e muito útil para todas as soluções é
x=n\pi+(-1)^{n}\alpha,\qquad n\in\mathbb{Z},
onde \alpha=\arcsin(a) (escolhida no intervalo [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]). Essa fórmula gera as duas séries de soluções \alpha+2k\pi e \pi-\alpha+2k\pi de forma única usando n\in\mathbb{Z}.
No nosso caso a=\pm s_{0}. Tomando \alpha=\arcsin(s_{0}) com \alpha\in\big(0,\tfrac{\pi}{2}\big), a fórmula
x=n\pi+(-1)^{n}\alpha,\qquad n\in\mathbb{Z},
já gera as soluções para \operatorname{sen}(x)=s_{0} e \operatorname{sen}(x)=-s_{0} (os sinais aparecem por variação de n). Portanto as soluções gerais são
x=n\pi+(-1)^{n}\arcsin\!\left(\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\right),\qquad n\in\mathbb{Z}.

Resposta

x=n\pi+(-1)^{n}\arcsin\!\left(\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\right),\qquad n\in\mathbb{Z}.

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