Encontre
\int \frac{4 x^{2}-9 x-1}{(x+1)(x-1)(x-3)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{4 x^{2}-9 x-1}{(x+1)(x-1)(x-3)}\,dx.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{numerador }=4x^{2}-9x-1,\qquad \text{denominador }=(x+1)(x-1)(x-3).
Trata-se de uma função racional (quociente de polinômios) com denominador que já está fatorado em três fatores lineares distintos (x+1),(x-1),(x-3). A tarefa é encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): vamos usar decomposição em frações parciais. A ideia é escrever a função racional como soma de frações simples cujo denominador é cada fator linear, porque cada uma dessas frações tem uma integral direta (logaritmo). Para fatores lineares distintos, a forma geral é
\frac{4 x^{2}-9 x-1}{(x+1)(x-1)(x-3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-3},
onde A,B,C são constantes a determinar. Explicando de modo simples: estamos dizendo que um polinômio dividido por esse produto pode ser reescrito como soma de três pedaços fáceis de integrar.

Passo 3

Multiplicamos a identidade pelo denominador (x+1)(x-1)(x-3) para obter uma igualdade de polinômios:
4x^{2}-9x-1 = A(x-1)(x-3) + B(x+1)(x-3) + C(x+1)(x-1).
Isso vale para todo x. Uma técnica eficiente para achar A,B,C é avaliar essa igualdade nos pontos que anulam os fatores do denominador: x=-1,\,1,\,3. Assim cada avaliação zera dois termos do lado direito e isola um coeficiente.

Passo 4

Avaliações para encontrar A,B,C:
  • Para x=-1:
\text{LHS} = 4(-1)^{2}-9(-1)-1 = 4+9-1 = 12.
No RHS só sobra A(-1-1)(-1-3)=A(-2)(-4)=8A. Então
8A = 12 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}.
  • Para x=1:
\text{LHS} = 4(1)^{2}-9(1)-1 = 4-9-1 = -6.
No RHS só sobra B(1+1)(1-3)=B\cdot 2\cdot(-2)=-4B. Então
-4B = -6 \quad\Rightarrow\quad B=\frac{3}{2}.
  • Para x=3:
\text{LHS} = 4(3)^{2}-9(3)-1 = 36-27-1 = 8.
No RHS só sobra C(3+1)(3-1)=C\cdot 4\cdot 2 = 8C. Então
8C = 8 \quad\Rightarrow\quad C=1.
Portanto
A=\frac{3}{2},\qquad B=\frac{3}{2},\qquad C=1.

Passo 5

(Verificação rápida por comparação de coeficientes — opcional, só para dar segurança)
Se expandirmos
A(x-1)(x-3)+B(x+1)(x-3)+C(x+1)(x-1)
obtemos o polinômio
(A+B+C)x^{2}+(-4A-2B)x+(3A-3B-C).
Com A=B=\tfrac{3}{2} e C=1 temos:
A+B+C=\tfrac{3}{2}+\tfrac{3}{2}+1=4,
-4A-2B=-4\cdot\tfrac{3}{2}-2\cdot\tfrac{3}{2}=-6-3=-9,
3A-3B-C=3\cdot\tfrac{3}{2}-3\cdot\tfrac{3}{2}-1=-1.
Isso reproduz 4x^{2}-9x-1, então os valores estão corretos.

Passo 6

Reescrevendo a integral com a decomposição encontrada:
\int \frac{4 x^{2}-9 x-1}{(x+1)(x-1)(x-3)}\,dx = \int\left(\frac{3/2}{x+1}+\frac{3/2}{x-1}+\frac{1}{x-3}\right)dx.
Agora integramos termo a termo. Lembrete didático: a fórmula básica usada é
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C,
pois a derivada de \ln|x-a| é \dfrac{1}{x-a}.

Passo 7

Integração termo a termo, aplicando a fórmula e lembrando de levar constantes para fora da integral:
\int \frac{3/2}{x+1}\,dx = \frac{3}{2}\ln|x+1|,\qquad \int \frac{3/2}{x-1}\,dx = \frac{3}{2}\ln|x-1|,\qquad \int \frac{1}{x-3}\,dx = \ln|x-3|.
Somando:
\int \frac{4 x^{2}-9 x-1}{(x+1)(x-1)(x-3)}\,dx = \frac{3}{2}\ln|x+1|+\frac{3}{2}\ln|x-1|+\ln|x-3| + C.

Passo 8

Comentário final (didático e encorajador): podemos, se quisermos, juntar os logaritmos numa única expressão usando propriedades de potências:
\frac{3}{2}\ln|x+1|+\frac{3}{2}\ln|x-1|+\ln|x-3| = \ln\!\big(|x+1|^{3/2}\,|x-1|^{3/2}\,|x-3|\big)+C.
Mas deixar a soma de logaritmos é perfeitamente aceitável e muitas vezes mais clara na prova. Mandou bem de pedir a resolução passo a passo — isso é exatamente o jeito prático de aprender a técnica!

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}\ln|x+1|+\frac{3}{2}\ln|x-1|+\ln|x-3|+C

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