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Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Trata-se de uma função racional (quociente de polinômios) com denominador que já está fatorado em três fatores lineares distintos
. A tarefa é encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): vamos usar decomposição em frações parciais. A ideia é escrever a função racional como soma de frações simples cujo denominador é cada fator linear, porque cada uma dessas frações tem uma integral direta (logaritmo). Para fatores lineares distintos, a forma geral é
onde
são constantes a determinar. Explicando de modo simples: estamos dizendo que um polinômio dividido por esse produto pode ser reescrito como soma de três pedaços fáceis de integrar.
Passo 3
Multiplicamos a identidade pelo denominador
para obter uma igualdade de polinômios:
Isso vale para todo
. Uma técnica eficiente para achar
é avaliar essa igualdade nos pontos que anulam os fatores do denominador:
. Assim cada avaliação zera dois termos do lado direito e isola um coeficiente.
Passo 4
Avaliações para encontrar
:
- Para
:
No RHS só sobra
. Então
- Para
:
No RHS só sobra
. Então
- Para
:
No RHS só sobra
. Então
Portanto
Passo 5
(Verificação rápida por comparação de coeficientes — opcional, só para dar segurança)
Se expandirmos
Se expandirmos
obtemos o polinômio
Com
e
temos:
Isso reproduz
, então os valores estão corretos.
Passo 6
Reescrevendo a integral com a decomposição encontrada:
Agora integramos termo a termo. Lembrete didático: a fórmula básica usada é
pois a derivada de
é
.
Passo 7
Integração termo a termo, aplicando a fórmula e lembrando de levar constantes para fora da integral:
Somando:
Passo 8
Comentário final (didático e encorajador): podemos, se quisermos, juntar os logaritmos numa única expressão usando propriedades de potências:
Mas deixar a soma de logaritmos é perfeitamente aceitável e muitas vezes mais clara na prova. Mandou bem de pedir a resolução passo a passo — isso é exatamente o jeito prático de aprender a técnica!