Encontre
\int \frac{x^{3}-x+1}{x^{2}(x-1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{3}-x+1}{x^{2}(x-1)^{3}}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O integrando é uma fração racional: numerador é o polinômio \;x^{3}-x+1\; e denominador é o polinômio \;x^{2}(x-1)^{3}\;.
  • O denominador fatorou-se explicitamente como \;x^{2}(x-1)^{3}\;.
  • O numerador tem grau 3 e o denominador tem grau 5, logo a fração já é própria (grau do numerador menor que o do denominador).
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x) = \dfrac{x^{3}-x+1}{x^{2}(x-1)^{3}}.

Passo 2

Escolha do método: para integrar frações racionais com denomínio fatorado em potências de fatores lineares, o método mais direto e eficiente é decompor em frações parciais. A ideia é escrever a função como soma de termos simples, cada um dos quais tem uma primitiva conhecida.
Formulamos a decomposição geral compatível com os fatores \;x^{2}\; e \;(x-1)^{3}\;:
\frac{x^{3}-x+1}{x^{2}(x-1)^{3}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^{2}} + \frac{C}{x-1} + \frac{D}{(x-1)^{2}} + \frac{E}{(x-1)^{3}},
onde A,B,C,D,E são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x-1)^{3} para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
x^{3}-x+1 = A\,x\,(x-1)^{3} + B\,(x-1)^{3} + C\,x^{2}(x-1)^{2} + D\,x^{2}(x-1) + E\,x^{2}.
Esta igualdade vale para todo x (identidade polinomial). Vamos usar valores convenientes de x e comparação de coeficientes para achar A,B,C,D,E.

Passo 4

Avaliação em pontos que anulam fatores:
  • Tomando x=0 obtemos, no lado esquerdo, 0^{3}-0+1 = 1. No lado direito, todos os termos que contêm fator x somem a zero, sobrando apenas B\,(0-1)^{3}=B(-1)^{3}=-B. Logo
1 = -B \quad\Rightarrow\quad B = -1.
  • Tomando x=1 obtemos, no lado esquerdo, 1^{3}-1+1 = 1. No lado direito, todos os termos com (x-1) se anulam, sobrando E\cdot 1^{2}=E. Logo
1 = E \quad\Rightarrow\quad E = 1.

Passo 5

Agora vamos comparar coeficientes dos termos em potência de x. Para isso expando os polinômios parcialmente (mas de modo organizado):
Calculemos cada termo em forma polinomial:
\begin{aligned} A\,x\,(x-1)^{3} &= A\,(x^{4}-3x^{3}+3x^{2}-x),\\\ B\,(x-1)^{3} &= B\,(x^{3}-3x^{2}+3x-1),\\\ C\,x^{2}(x-1)^{2} &= C\,(x^{4}-2x^{3}+x^{2}),\\\ D\,x^{2}(x-1) &= D\,(x^{3}-x^{2}),\\\ E\,x^{2} &= E\,x^{2}. \end{aligned}
Somando e agrupando coeficientes por potências de x, deve-se obter o polinômio x^{3}-x+1, cujos coeficientes por potência são:
  • coeficiente de x^{4}: 0,
  • coeficiente de x^{3}: 1,
  • coeficiente de x^{2}: 0,
  • coeficiente de x^{1}: -1,
  • coeficiente de x^{0}: 1.
Agora escrevemos as equações resultantes da comparação.

Passo 6

Comparação de coeficientes:
  1. Coeficiente de x^{4}:
A + C = 0 \quad\Rightarrow\quad C = -A.
  1. Coeficiente de x^{3}:
-3A + B - 2C + D = 1.
Substituindo C=-A e B=-1:
-3A + (-1) -2(-A) + D = 1 \;\Rightarrow\; -3A -1 +2A + D = 1
que simplifica para
-A -1 + D = 1 \;\Rightarrow\; -A + D = 2.
(ou escrito como)
-A + D = 2.
  1. Coeficiente de x^{2}:
3A -3B + C - D + E = 0.
Substituindo B=-1, C=-A, E=1:
3A -3(-1) -A - D +1 = 0 \;\Rightarrow\; 3A +3 -A - D +1 = 0
2A +4 - D = 0 \;\Rightarrow\; 2A - D = -4.
  1. Coeficiente de x^{1}:
- A + 3B = -1.
Substituindo B=-1:
- A + 3(-1) = -1 \;\Rightarrow\; -A -3 = -1 \;\Rightarrow\; -A = 2 \;\Rightarrow\; A = -2.

Passo 7

Com A = -2 temos:
C = -A = 2.
Usando -A + D = 2 (equação do x^{3}) obtemos:
-(-2) + D = 2 \;\Rightarrow\; 2 + D = 2 \;\Rightarrow\; D = 0.
Relembrando B=-1 e E=1, os coeficientes finais são:
A = -2,\quad B = -1,\quad C = 2,\quad D = 0,\quad E = 1.
Logo a decomposição em frações parciais fica:
\frac{x^{3}-x+1}{x^{2}(x-1)^{3}} = -\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x-1} + 0\cdot\frac{1}{(x-1)^{2}} + \frac{1}{(x-1)^{3}}.
Podemos abandonar o termo com coeficiente zero:
\frac{x^{3}-x+1}{x^{2}(x-1)^{3}} = -\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x-1} + \frac{1}{(x-1)^{3}}.

Passo 8

Agora integramos termo a termo. Lembretes das regras usadas:
  • Para n\neq -1, \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
  • Para n=-1, \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.
  • Uso da linearidade da integral para somar resultados.
Integramos cada termo:
  1. \displaystyle \int -\frac{2}{x}\,dx = -2\int \frac{1}{x}\,dx = -2\ln|x|.
  2. \displaystyle \int -\frac{1}{x^{2}}\,dx = -\int x^{-2}\,dx = -\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right) = \frac{1}{x}.
    Explicando: usei a regra \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) com n=-2.
  3. \displaystyle \int \frac{2}{x-1}\,dx = 2\int \frac{1}{x-1}\,dx = 2\ln|x-1|.
  4. \displaystyle \int \frac{1}{(x-1)^{3}}\,dx = \int (x-1)^{-3}\,dx = \frac{(x-1)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2(x-1)^{2}}.
    (Novamente a regra de potência com n=-3.)
Somando todos os termos e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva.

Resposta

-2\ln|x| + \frac{1}{x} + 2\ln|x-1| - \frac{1}{2(x-1)^{2}} + C

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