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Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- O integrando é uma fração racional: numerador é o polinômio
e denominador é o polinômio . - O denominador fatorou-se explicitamente como
. - O numerador tem grau
e o denominador tem grau , logo a fração já é própria (grau do numerador menor que o do denominador). - A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão
tal que .
Passo 2
Escolha do método: para integrar frações racionais com denomínio fatorado em potências de fatores lineares, o método mais direto e eficiente é decompor em frações parciais. A ideia é escrever a função como soma de termos simples, cada um dos quais tem uma primitiva conhecida.
Formulamos a decomposição geral compatível com os fatores
e
:
onde
são constantes a determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar denominadores e obter uma identidade polinomial:
Esta igualdade vale para todo
(identidade polinomial). Vamos usar valores convenientes de
e comparação de coeficientes para achar
.
Passo 4
Avaliação em pontos que anulam fatores:
- Tomando
obtemos, no lado esquerdo, . No lado direito, todos os termos que contêm fator somem a zero, sobrando apenas . Logo
- Tomando
obtemos, no lado esquerdo, . No lado direito, todos os termos com se anulam, sobrando . Logo
Passo 5
Agora vamos comparar coeficientes dos termos em potência de
. Para isso expando os polinômios parcialmente (mas de modo organizado):
Calculemos cada termo em forma polinomial:
Somando e agrupando coeficientes por potências de
, deve-se obter o polinômio
, cujos coeficientes por potência são:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - coeficiente de
: , - coeficiente de
: .
Agora escrevemos as equações resultantes da comparação.
Passo 6
Comparação de coeficientes:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Substituindo
e
:
que simplifica para
(ou escrito como)
- Coeficiente de
:
Substituindo
,
,
:
- Coeficiente de
:
Substituindo
:
Passo 7
Com
temos:
Usando
(equação do
) obtemos:
Relembrando
e
, os coeficientes finais são:
Logo a decomposição em frações parciais fica:
Podemos abandonar o termo com coeficiente zero:
Passo 8
Agora integramos termo a termo. Lembretes das regras usadas:
- Para
, . - Para
, . - Uso da linearidade da integral para somar resultados.
Integramos cada termo:
-
-
Explicando: usei a regracom . -
-
(Novamente a regra de potência com.)
Somando todos os termos e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva.