Calcular as seguintes integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- O integrando é a função racional
. - Queremos uma antiderivada (ou seja, a primitiva), incluindo a constante de integração
.
Passo 2
Observação importante: o denominador é um polinômio quadrático. Uma técnica muito útil aqui é completar o quadrado para reescrever o denominador numa forma
, que nos leva à integral da forma
, cujo resultado é uma função arco-tangente. Vamos completar o quadrado em
Para completar o quadrado, agrupamos
e adicionamos/subtraímos o termo necessário:
Passo 3
Fazemos a substituição natural motivada pelo quadrado perfeito:
Substituindo no integrando obtemos
Passo 4
Tiro a constante
para fora da integral:
Agora lembro da fórmula básica (que vou derivar em seguida):
onde
. Prova curta dessa fórmula: faça
, então
e
. A integral vira
Passo 5
No nosso caso,
então
. Aplicando a fórmula:
Voltando à variável original
(lembre que
):
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (para me deixar mais confiante e ajudar você a lembrar na prova): calcule a derivada de
. Usando regra da cadeia,
que é exatamente o integrando original. Perfeito!