Calcular as seguintes integrais:
\int \frac{3}{5+2 x+x^{2}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{3}{5+2x+x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função racional \dfrac{3}{x^{2}+2x+5}.
  • Queremos uma antiderivada (ou seja, a primitiva), incluindo a constante de integração C.

Passo 2

Observação importante: o denominador é um polinômio quadrático. Uma técnica muito útil aqui é completar o quadrado para reescrever o denominador numa forma (\text{algo})^{2}+a^{2}, que nos leva à integral da forma \int \dfrac{du}{u^{2}+a^{2}}, cujo resultado é uma função arco-tangente. Vamos completar o quadrado em
x^{2}+2x+5.
Para completar o quadrado, agrupamos x^{2}+2x e adicionamos/subtraímos o termo necessário:
x^{2}+2x+5 = (x^{2}+2x+1)+4 = (x+1)^{2}+4.

Passo 3

Fazemos a substituição natural motivada pelo quadrado perfeito:
u = x+1 \quad\Rightarrow\quad du = dx.
Substituindo no integrando obtemos
\int \frac{3}{x^{2}+2x+5}\,dx = \int \frac{3}{(x+1)^{2}+4}\,dx = \int \frac{3}{u^{2}+4}\,du.

Passo 4

Tiro a constante 3 para fora da integral:
\int \frac{3}{u^{2}+4}\,du = 3\int \frac{1}{u^{2}+4}\,du.
Agora lembro da fórmula básica (que vou derivar em seguida):
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C,
onde a>0. Prova curta dessa fórmula: faça v=\dfrac{u}{a}, então u=av e du=a\,dv. A integral vira
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du = \int \frac{1}{a^{2}v^{2}+a^{2}}\,a\,dv = \frac{1}{a}\int \frac{1}{v^{2}+1}\,dv = \frac{1}{a}\arctan(v)+C = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.

Passo 5

No nosso caso, a^{2}=4 então a=2. Aplicando a fórmula:
3\int \frac{1}{u^{2}+4}\,du = 3\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{u}{2}\right)+C = \frac{3}{2}\arctan\!\left(\frac{u}{2}\right)+C.
Voltando à variável original x (lembre que u=x+1):
\frac{3}{2}\arctan\!\left(\frac{x+1}{2}\right)+C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (para me deixar mais confiante e ajudar você a lembrar na prova): calcule a derivada de \dfrac{3}{2}\arctan\!\big(\dfrac{x+1}{2}\big). Usando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\left[\frac{3}{2}\arctan\!\left(\frac{x+1}{2}\right)\right] = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{1+(\frac{x+1}{2})^{2}}\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{\frac{(x+1)^{2}+4}{4}} = \frac{3}{(x+1)^{2}+4} = \frac{3}{x^{2}+2x+5},
que é exatamente o integrando original. Perfeito!

Resposta

\frac{3}{2}\arctan\!\left(\frac{x+1}{2}\right)+C

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