Encontre as integrais abaixo:
\int \frac{t}{1+3 t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{t}{1+3t^{2}}\,dt.
Informações dadas que são relevantes:
  • A variável de integração é t.
  • A integral é indefinida (espera-se uma primitiva mais uma constante de integração).
  • O integrando é a razão entre t (numerador) e 1+3t^{2} (denominador).

Passo 2

Vamos observar a forma do integrando e procurar uma pista prática: muitas vezes quando aparece uma função no denominador e sua derivada (ou múltiplo dela) no numerador, a substituição simples leva a um logaritmo. Regra útil (que vou explicar): se f é diferenciável e f'(x) aparece no numerador, então
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\big|f(x)\big| + C.
Aqui o denominador é 1+3t^{2}. Calculemos sua derivada:
\frac{d}{dt}\big(1+3t^{2}\big)=6t.
O numerador é t, que é proporcional a 6t. Ou seja,
\frac{t}{1+3t^{2}} = \frac{1}{6}\cdot\frac{6t}{1+3t^{2}}.
Isso indica que a integral deve ficar \tfrac{1}{6} vezes o logaritmo de 1+3t^{2}.

Passo 3

Façamos a substituição explicitamente para ficar bem claro e “mastigado”. Defina
u = 1+3t^{2}.
Então
du = 6t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt = \frac{du}{6}.
Substituindo na integral:
\int \frac{t}{1+3t^{2}}\,dt = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{6} = \frac{1}{6}\int \frac{du}{u}.
A integral de 1/u é o logaritmo natural:
\frac{1}{6}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{6}\ln\big|u\big| + C.
Voltando para a variável t (substituindo u=1+3t^{2}):
\frac{1}{6}\ln\big|1+3t^{2}\big| + C.

Passo 4

Pequena observação sobre o valor absoluto: aqui 1+3t^{2} é sempre positivo para todo t\in\mathbb{R}, então \big|1+3t^{2}\big|=1+3t^{2}. Logo a primitiva pode ser escrita simplesmente como
\frac{1}{6}\ln\big(1+3t^{2}\big) + C.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivando a resposta obtida, usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{6}\ln\big(1+3t^{2}\big)\right) = \frac{1}{6}\cdot\frac{6t}{1+3t^{2}} = \frac{t}{1+3t^{2}},
que é exatamente o integrando original. Portanto está correta.

Resposta

\dfrac{1}{6}\ln\big(1+3t^{2}\big)+C

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