Encontre as integrais abaixo: \int \frac{t}{1+3 t^{2}} d t
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{t}{1+3t^{2}}\,dt.
Informações dadas que são relevantes:
A variável de integração é t.
A integral é indefinida (espera-se uma primitiva mais uma constante de integração).
O integrando é a razão entre t (numerador) e 1+3t^{2} (denominador).
Passo 2
Vamos observar a forma do integrando e procurar uma pista prática: muitas vezes quando aparece uma função no denominador e sua derivada (ou múltiplo dela) no numerador, a substituição simples leva a um logaritmo. Regra útil (que vou explicar): se f é diferenciável e f'(x) aparece no numerador, então
\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\big|f(x)\big| + C.
Aqui o denominador é 1+3t^{2}. Calculemos sua derivada:
\frac{d}{dt}\big(1+3t^{2}\big)=6t.
O numerador é t, que é proporcional a 6t. Ou seja,
\frac{1}{6}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{6}\ln\big|u\big| + C.
Voltando para a variável t (substituindo u=1+3t^{2}):
\frac{1}{6}\ln\big|1+3t^{2}\big| + C.
Passo 4
Pequena observação sobre o valor absoluto: aqui 1+3t^{2} é sempre positivo para todo t\in\mathbb{R}, então \big|1+3t^{2}\big|=1+3t^{2}. Logo a primitiva pode ser escrita simplesmente como
\frac{1}{6}\ln\big(1+3t^{2}\big) + C.
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivando a resposta obtida, usando a regra da cadeia,