Encontre as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
Informações fornecidas:
- A expressão a integrar é
. - Trata-se de uma primitiva (integral indefinida), então devo fornecer uma função
tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Estratégia escolhida: usar a técnica de substituição (trocar a variável por uma função que simplifica a expressão). Explicando a técnica de modo bem simples: se tomar uma nova variável
de modo que
, então uma integral em
pode ser reescrita como uma integral em
. Aqui eu procuro
tal que o diferencial
coincida com o numerador
.
Passo 3
Faço a substituição natural:
Agora calculo
. Como
depende de
, uso derivação:
Portanto
Aqui cada símbolo significa:
-
é a nova variável definida por . -
é o diferencial de . -
é exatamente o numerador da integral original, então a substituição é compatível.
Passo 4
Substituo na integral original: como
e
,
Expliquei por que: o numerador vira
e o denominador vira
.
Passo 5
Agora lembro a primitiva básica: a integral de
é o logaritmo natural:
porque
. O valor absoluto aparece por uma razão técnica (logaritmo definido para argumentos positivos), mas no nosso caso veremos em seguida que não é necessário aqui.
Passo 6
Volto à variável
substituindo
:
Observação sobre o valor absoluto: para todo
real tem-se
, então
. Logo
, e posso escrever de forma mais simples
Passo 7
Verificação rápida (para ficar seguro na prova): derivo a resposta para checar que volta ao integrando. Usando regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Então está certo!