Encontre as integrais abaixo:
\int \frac{e^{x}}{2+e^{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int \frac{e^{x}}{2+e^{x}}\,dx.
Informações fornecidas:
  • A expressão a integrar é \dfrac{e^{x}}{2+e^{x}}.
  • Trata-se de uma primitiva (integral indefinida), então devo fornecer uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{e^{x}}{2+e^{x}}, mais a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia escolhida: usar a técnica de substituição (trocar a variável por uma função que simplifica a expressão). Explicando a técnica de modo bem simples: se tomar uma nova variável u=g(x) de modo que du=g'(x)\,dx, então uma integral em x pode ser reescrita como uma integral em u. Aqui eu procuro u tal que o diferencial du coincida com o numerador e^{x}\,dx.

Passo 3

Faço a substituição natural:
u = 2 + e^{x}.
Agora calculo du. Como u depende de x, uso derivação:
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(2+e^{x}\bigr)=e^{x}.
Portanto
du = e^{x}\,dx.
Aqui cada símbolo significa:
  • u é a nova variável definida por u=2+e^{x}.
  • du é o diferencial de u.
  • e^{x}\,dx é exatamente o numerador da integral original, então a substituição é compatível.

Passo 4

Substituo na integral original: como du=e^{x}\,dx e u=2+e^{x},
\int \frac{e^{x}}{2+e^{x}}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du.
Expliquei por que: o numerador vira du e o denominador vira u.

Passo 5

Agora lembro a primitiva básica: a integral de 1/u é o logaritmo natural:
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C,
porque \dfrac{d}{du}\bigl(\ln|u|\bigr)=\dfrac{1}{u}. O valor absoluto aparece por uma razão técnica (logaritmo definido para argumentos positivos), mas no nosso caso veremos em seguida que não é necessário aqui.

Passo 6

Volto à variável x substituindo u=2+e^{x}:
\int \frac{e^{x}}{2+e^{x}}\,dx = \ln|2+e^{x}| + C.
Observação sobre o valor absoluto: para todo x real tem-se e^{x}>0, então 2+e^{x}>2>0. Logo |2+e^{x}|=2+e^{x}, e posso escrever de forma mais simples
\ln(2+e^{x}) + C.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar seguro na prova): derivo a resposta para checar que volta ao integrando. Usando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(2+e^{x})\bigr)=\frac{1}{2+e^{x}}\cdot e^{x}=\frac{e^{x}}{2+e^{x}},
que é exatamente o integrando. Então está certo!

Resposta

\ln(2+e^{x}) + C

Exercícios relacionados