Encontre as integrais abaixo:
\int \frac{y}{y^{2}+4} d y

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dada a integral indefinida \displaystyle \int \frac{y}{y^{2}+4}\,dy.
  • Pede-se encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função em termos de y, mais a constante de integração C.
  • Informação útil que já aparece no enunciado: o numerador é \,y, e o denominador é \,y^{2}+4,.

Passo 2

Ideia de resolução (observação que guia o método):
  • Quando o integrando tem a forma \dfrac{f'(y)}{f(y)}, sabe-se que uma primitiva é \ln|f(y)| (porque \dfrac{d}{dy}\ln|f(y)|=\dfrac{f'(y)}{f(y)}).
  • Aqui o denominador é f(y)=y^{2}+4. A derivada de f é f'(y)=2y, que é proporcional ao numerador y. Isso sugere usar a substituição u=f(y)=y^{2}+4.

Passo 3

Realizando a substituição:
  • Defina \displaystyle u=y^{2}+4.
  • Então \displaystyle du = 2y\,dy, ou seja \displaystyle y\,dy = \tfrac{1}{2}\,du.

Passo 4

Trocar variáveis na integral e integrar:
\int \frac{y}{y^{2}+4}\,dy = \int \frac{1}{u}\left(\tfrac{1}{2}\,du\right) = \tfrac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du.
  • A integral de \dfrac{1}{u} é \ln|u|, portanto
\tfrac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \tfrac{1}{2}\ln|u| + C.

Passo 5

Voltar para a variável original e simplificar:
  • Substituindo u=y^{2}+4 de volta:
\tfrac{1}{2}\ln|u|+C = \tfrac{1}{2}\ln\!\bigl|y^{2}+4\bigr| + C.
  • Observação: \,y^{2}+4>0 para todo y, então o valor absoluto é desnecessário e podemos escrever simplesmente \tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(y^{2}+4\bigr)+C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (checar que a primitiva está correta):
  • Diferenciando \displaystyle F(y)=\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(y^{2}+4\bigr) usando a regra da cadeia:
F'(y)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{y^{2}+4}\cdot 2y=\frac{y}{y^{2}+4},
que coincide com o integrando. Então a primitiva está correta.

Resposta

\tfrac{1}{2}\ln\!\bigl(y^{2}+4\bigr)+C

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