Encontre as integrais abaixo:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dada a integral indefinida
. - Pede-se encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função em termos de
, mais a constante de integração . - Informação útil que já aparece no enunciado: o numerador é
, e o denominador é ,.
Passo 2
Ideia de resolução (observação que guia o método):
- Quando o integrando tem a forma
, sabe-se que uma primitiva é (porque ). - Aqui o denominador é
. A derivada de é , que é proporcional ao numerador . Isso sugere usar a substituição .
Passo 3
Realizando a substituição:
- Defina
. - Então
, ou seja .
Passo 4
Trocar variáveis na integral e integrar:
- A integral de
é , portanto
Passo 5
Voltar para a variável original e simplificar:
- Substituindo
de volta:
- Observação:
para todo , então o valor absoluto é desnecessário e podemos escrever simplesmente .
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (checar que a primitiva está correta):
- Diferenciando
usando a regra da cadeia:
que coincide com o integrando. Então a primitiva está correta.