Encontre as integrais abaixo:
\int \frac{(\ln z)^{2}}{z} d z

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primitiva (antiderivada) da função dada. A integral que precisamos calcular é
\int \frac{(\ln z)^{2}}{z}\,dz.
Informações relevantes:
  • A variável de integração é z.
  • A expressão envolve \ln z; para a versão real usual do logaritmo natural, isso exige z>0. Vou assumir z>0 para trabalhar com \ln z real.
  • O objetivo é encontrar uma função F(z) tal que F'(z)=\dfrac{(\ln z)^2}{z}, mais a constante de integração.

Passo 2

Estratégia: usar uma substituição simples que elimine o logaritmo dentro da integral. Explicando a técnica (substituição):
  • Se fizermos uma mudança de variável \,u=g(z), então \,du=g'(z)\,dz. Isso permite transformar uma integral em z numa integral em u.
  • Aqui vemos \dfrac{1}{z}\,dz multiplicando uma função de \ln z. Isso sugere escolher u=\ln z, porque a derivada de \ln z é \dfrac{1}{z}.

Passo 3

Aplicando a substituição \,u=\ln z. Calculamos du:
u=\ln z \quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{z}\,dz.
Portanto \dfrac{1}{z}\,dz = du. Substituindo na integral original obtemos uma integral simples em u:
\int \frac{(\ln z)^{2}}{z}\,dz = \int u^{2}\,du.

Passo 4

Agora integramos \int u^{2}\,du. Usamos a regra da potência para integrais:
  • Regra da potência: para n\neq -1, \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
    Aqui n=2, então
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original z pela substituição u=\ln z. Substituindo u na primitiva encontrada:
F(z)=\frac{(\ln z)^{3}}{3} + C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando F(z) pelo regra da cadeia,
F'(z)=\frac{1}{3}\cdot 3(\ln z)^{2}\cdot\frac{1}{z} = \frac{(\ln z)^{2}}{z},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta. Lembrete: válida para z>0.

Passo 6

Comentário final curto e incentivo: a técnica usada é a substituição padrão — quando aparece \ln z acompanhado de \dfrac{1}{z}\,dz, sempre pense em u=\ln z. Isso reduz o problema a uma integral polinomial simples. Vai dar certo na prova, respira e pratica mais alguns exercícios parecidos!

Resposta

\displaystyle \frac{(\ln z)^{3}}{3}+C

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