Encontre as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a primitiva (antiderivada) da função dada. A integral que precisamos calcular é
Informações relevantes:
- A variável de integração é
. - A expressão envolve
; para a versão real usual do logaritmo natural, isso exige . Vou assumir para trabalhar com real. - O objetivo é encontrar uma função
tal que , mais a constante de integração.
Passo 2
Estratégia: usar uma substituição simples que elimine o logaritmo dentro da integral. Explicando a técnica (substituição):
- Se fizermos uma mudança de variável
, então . Isso permite transformar uma integral em numa integral em . - Aqui vemos
multiplicando uma função de . Isso sugere escolher , porque a derivada de é .
Passo 3
Aplicando a substituição
. Calculamos
:
Portanto
. Substituindo na integral original obtemos uma integral simples em
:
Passo 4
Agora integramos
. Usamos a regra da potência para integrais:
- Regra da potência: para
, .
Aqui, então
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à variável original
pela substituição
. Substituindo
na primitiva encontrada:
Verificação rápida (útil na prova): derivando
pelo regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta. Lembrete: válida para
.
Passo 6
Comentário final curto e incentivo: a técnica usada é a substituição padrão — quando aparece
acompanhado de
, sempre pense em
. Isso reduz o problema a uma integral polinomial simples. Vai dar certo na prova, respira e pratica mais alguns exercícios parecidos!