Encontre as integrais abaixo:
\int \operatorname{sen}^{3} \alpha \cos \alpha d \alpha

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int \operatorname{sen}^{3}\alpha\cos\alpha\,d\alpha.
Informações dadas: a variável de integração é \alpha (um ângulo) e a integranda é \operatorname{sen}^{3}\alpha\cos\alpha. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função F(\alpha) tal que F'(\alpha)=\operatorname{sen}^{3}\alpha\cos\alpha.

Passo 2

Escolha do método: observar a integranda \operatorname{sen}^{3}\alpha\cos\alpha. Note que aparece \operatorname{sen}\alpha elevado a uma potência e multiplicado por \cos\alpha\,d\alpha. Isso sugere a substituição clássica u=\operatorname{sen}\alpha, porque a derivada de \operatorname{sen}\alpha é \cos\alpha, então o diferencial du vai trazer justamente o fator \cos\alpha\,d\alpha. Essa técnica chama-se substituição (ou mudança de variável) e é muito usada quando a derivada de uma parte da função aparece multiplicando o resto.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente: defina
u=\operatorname{sen}\alpha.
Então diferencia-se ambos os lados em relação a \alpha:
du=\frac{d}{d\alpha}(\operatorname{sen}\alpha)\,d\alpha=\cos\alpha\,d\alpha.
Portanto o elemento \cos\alpha\,d\alpha da integral é exatamente du. Substituindo na integral obtemos uma integral em u:
\int \operatorname{sen}^{3}\alpha\cos\alpha\,d\alpha=\int u^{3}\,du.

Passo 4

Integrar u^{3}: usar a regra de potência para integrais (aqui explico bem): para qualquer número real n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. No nosso caso n=3, então
\int u^{3}\,du=\frac{u^{4}}{4}+C.

Passo 5

Voltar à variável original \alpha: substituindo u=\operatorname{sen}\alpha de volta,
\frac{u^{4}}{4}+C=\frac{\operatorname{sen}^{4}\alpha}{4}+C.
Essa é uma primitiva da integranda original.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): derivar a função encontrada para checar. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{d\alpha}\left(\frac{\operatorname{sen}^{4}\alpha}{4}\right)=\frac{1}{4}\cdot 4\operatorname{sen}^{3}\alpha\cdot\cos\alpha=\operatorname{sen}^{3}\alpha\cos\alpha,
que é exatamente a integranda. Então a primitiva está correta. Parabéns — é uma integração direta depois da substituição!

Resposta

\dfrac{\operatorname{sen}^{4}\alpha}{4}+C

Exercícios relacionados