Encontre as integrais abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral
Informações dadas: a variável de integração é
(um ângulo) e a integranda é
. O objetivo é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função
tal que
.
Passo 2
Escolha do método: observar a integranda
. Note que aparece
elevado a uma potência e multiplicado por
. Isso sugere a substituição clássica
, porque a derivada de
é
, então o diferencial
vai trazer justamente o fator
. Essa técnica chama-se substituição (ou mudança de variável) e é muito usada quando a derivada de uma parte da função aparece multiplicando o resto.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente: defina
Então diferencia-se ambos os lados em relação a
:
Portanto o elemento
da integral é exatamente
. Substituindo na integral obtemos uma integral em
:
Passo 4
Integrar
: usar a regra de potência para integrais (aqui explico bem): para qualquer número real
,
onde
é a constante de integração. No nosso caso
, então
Passo 5
Voltar à variável original
: substituindo
de volta,
Essa é uma primitiva da integranda original.
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): derivar a função encontrada para checar. Pela regra da cadeia,
que é exatamente a integranda. Então a primitiva está correta. Parabéns — é uma integração direta depois da substituição!