Use a derivação implícita para determinar
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para determinar
.
Informações relevantes: a expressão relaciona e
de forma implícita — ou seja,
não está isolada como função explícita de
. O objetivo é encontrar uma expressão para
em termos de
e
.
Informações relevantes: a expressão relaciona
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
. Antes disso, recorde rápido (com linguagem simples):
- Regra da cadeia: se
, então
ou seja, deriva-se o quadrado aplicando
e multiplicando pela derivada do interior
.
- Produto envolvendo
: ao derivar algo como , usa-se a regra do produto:
Agora aplicando a derivação à equação dada, usando a regra da cadeia no lado esquerdo e derivando o lado direito normalmente:
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
No lado direito,
Passo 4
Agora precisamos de
. Note que
é uma constante
multiplicando o produto
. Usando a regra do produto indicada antes:
E
. Portanto
Substituindo isto na expressão do Passo 3:
Passo 5
Simplificando o fator
em ambos os lados (podemos dividir por
desde que saibamos que é uma operação algébrica válida):
Agora distribuímos e recolhemos os termos que contêm
. Primeiro expandindo o lado esquerdo:
Colocando todos os termos com
no mesmo lado:
Fatorando
no lado esquerdo:
Finalmente, isolando
:
Passo 6
Podemos apresentar a resposta em forma expandida no denominador para quem prefere ver polinômio explícito:
portanto outra forma equivalente é
Observação prática: o denominador
igual a zero indica pontos onde a derivada não existe (ou é indefinida) — é útil checar isso na hora da prova.