Use a derivação implícita para determinar d y / d x.
(3 x y+7)^{2}=6 y

Passo 1

O enunciado dá a equação
(3xy+7)^{2}=6y
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes: a expressão relaciona x e y de forma implícita — ou seja, y não está isolada como função explícita de x. O objetivo é encontrar uma expressão para \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Antes disso, recorde rápido (com linguagem simples):
  • Regra da cadeia: se F(x)=\big(u(x)\big)^{2}, então
F'(x)=2\,u(x)\cdot u'(x),
ou seja, deriva-se o quadrado aplicando 2u e multiplicando pela derivada do interior u'(x).
  • Produto envolvendo y: ao derivar algo como x\cdot y(x), usa-se a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=x\frac{dy}{dx}+y\cdot\frac{d}{dx}(x)=x\frac{dy}{dx}+y.
Agora aplicando a derivação à equação dada, usando a regra da cadeia no lado esquerdo e derivando o lado direito normalmente:
\frac{d}{dx}\big[(3xy+7)^{2}\big]=\frac{d}{dx}(6y).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\big[(3xy+7)^{2}\big]=2(3xy+7)\cdot\frac{d}{dx}(3xy+7).
No lado direito,
\frac{d}{dx}(6y)=6\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Agora precisamos de \dfrac{d}{dx}(3xy+7). Note que 3xy é uma constante 3 multiplicando o produto x\cdot y. Usando a regra do produto indicada antes:
\frac{d}{dx}(3xy)=3\cdot\frac{d}{dx}(xy)=3\big(x\frac{dy}{dx}+y\big).
E \dfrac{d}{dx}(7)=0. Portanto
\frac{d}{dx}(3xy+7)=3\big(x\frac{dy}{dx}+y\big).
Substituindo isto na expressão do Passo 3:
2(3xy+7)\cdot 3\big(x\frac{dy}{dx}+y\big)=6\frac{dy}{dx}.

Passo 5

Simplificando o fator 2\cdot 3=6 em ambos os lados (podemos dividir por 6 desde que saibamos que é uma operação algébrica válida):
(3xy+7)\big(x\frac{dy}{dx}+y\big)=\frac{dy}{dx}.
Agora distribuímos e recolhemos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx}. Primeiro expandindo o lado esquerdo:
(3xy+7)\,x\frac{dy}{dx}+(3xy+7)\,y=\frac{dy}{dx}.
Colocando todos os termos com \dfrac{dy}{dx} no mesmo lado:
(3xy+7)\,x\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}=- (3xy+7)\,y.
Fatorando \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\left[x(3xy+7)-1\right]\frac{dy}{dx}=-y(3xy+7).
Finalmente, isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{-y(3xy+7)}{x(3xy+7)-1}.

Passo 6

Podemos apresentar a resposta em forma expandida no denominador para quem prefere ver polinômio explícito:
x(3xy+7)-1=3x^{2}y+7x-1,
portanto outra forma equivalente é
\frac{dy}{dx}=\frac{-(3xy+7)\,y}{3x^{2}y+7x-1}.
Observação prática: o denominador 3x^{2}y+7x-1 igual a zero indica pontos onde a derivada não existe (ou é indefinida) — é útil checar isso na hora da prova.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{-(3xy+7)\,y}{x(3xy+7)-1}=\frac{-(3xy+7)\,y}{3x^{2}y+7x-1}

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