Encontre as integrais indefinidas abaixo:
b(v)=\left(-2+v^{-2}\right)^{2};

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função
b(v)=\bigl(-2+v^{-2}\bigr)^{2}.
O conteúdo é integração de soma de potências de v. Vamos usar a regra do poder
\int v^{n}\,dv = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Expandimos o quadrado para obter termos em potências de v:
(-2+v^{-2})^{2} = 4 - 4\,v^{-2} + v^{-4}.

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int 4\,dv = 4v,
\int \bigl(-4\,v^{-2}\bigr)\,dv = -4\int v^{-2}\,dv = -4\!\left(\frac{v^{-1}}{-1}\right) = 4\,v^{-1},
\int v^{-4}\,dv = \frac{v^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3}\,v^{-3}.

Passo 4

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, temos
\int b(v)\,dv = 4v + 4\,v^{-1} - \frac{1}{3}\,v^{-3} + C.

Resposta

4v + 4\,v^{-1} - \frac{1}{3}\,v^{-3} + C.

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