Encontre as integrais indefinidas abaixo:
g(t)=\frac{t^{5}}{2}-\frac{4}{t^{-3}}+3 t;

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função
g(t)=\frac{t^{5}}{2}-\frac{4}{t^{-3}}+3\,t.
O conteúdo aqui é aplicação da regra de potência para antiderivação, que diz
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo -\frac{4}{t^{-3}}:
-\frac{4}{t^{-3}} = -4\,t^{3}.
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g(t)=\frac{1}{2}\,t^{5} - 4\,t^{3} + 3\,t.

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando \int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C:
\int \frac{1}{2}\,t^{5}\,dt = \frac{1}{2}\,\frac{t^{6}}{6} = \frac{t^{6}}{12},
\int (-4\,t^{3})\,dt = -4\,\frac{t^{4}}{4} = -\,t^{4},
\int 3\,t\,dt = 3\,\frac{t^{2}}{2} = \frac{3}{2}\,t^{2}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, temos
\int g(t)\,dt = \frac{t^{6}}{12} \;-\; t^{4} \;+\; \frac{3}{2}\,t^{2} \;+\; C.

Resposta

\boxed{\int g(t)\,dt = \frac{t^{6}}{12} - t^{4} + \frac{3}{2}\,t^{2} + C.}

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