Encontre as integrais indefinidas das funções do Problema 5 do item (a) ao (f).
(d) \int\left(3 t^{2}-1,5 t-\frac{1}{3} t^{-3}-\frac{1}{64} t^{-8}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função
f(t)=3\,t^{2}-1,5\,t-\frac{1}{3}t^{-3}-\frac{1}{64}t^{-8}.
O conteúdo principal é o uso da regra de potência para integrais, que diz que, para n\neq -1,
\int t^n\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Vamos separar a integral termo a termo usando linearidade:
\int\bigl(3\,t^{2}-1,5\,t-\tfrac{1}{3}t^{-3}-\tfrac{1}{64}t^{-8}\bigr)\,dt =\int 3\,t^{2}\,dt -1,5\int t\,dt -\tfrac{1}{3}\int t^{-3}\,dt -\tfrac{1}{64}\int t^{-8}\,dt.

Passo 3

Aplicando a regra de potência a cada termo:
Para o primeiro termo, n=2:
\int 3\,t^{2}\,dt =3\cdot\frac{t^{3}}{3} =t^{3}.
Para o segundo termo, n=1:
1,5\int t\,dt =1,5\cdot\frac{t^{2}}{2} =\frac{3}{4}\,t^{2}.
Para o terceiro termo, n=-3:
\frac{1}{3}\int t^{-3}\,dt =\frac{1}{3}\cdot\frac{t^{-2}}{-2} =-\frac{1}{6}\,t^{-2},
mas havia um sinal menos antes, logo fica +\tfrac{1}{6}t^{-2}. Para o quarto termo, n=-8:
\frac{1}{64}\int t^{-8}\,dt =\frac{1}{64}\cdot\frac{t^{-7}}{-7} =-\frac{1}{448}\,t^{-7},
e como também havia menos na frente, fica +\tfrac{1}{448}t^{-7}.

Passo 4

Juntando tudo e acrescentando a constante C, obtemos a antiderivada completa.

Resposta

\int\bigl(3\,t^{2}-1,5\,t-\tfrac{1}{3}t^{-3}-\tfrac{1}{64}t^{-8}\bigr)\,dt =t^{3} -\frac{3}{4}\,t^{2} +\frac{1}{6}\,t^{-2} +\frac{1}{448}\,t^{-7} +C.

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