Encontre as integrais indefinidas das funções do Problema 5 do item (a) ao (f).
(f) \int\left((1-t)^{2}-\left(t^{2}-1\right)(t-2)\right) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida da função
(1 - t)^{2} - (t^{2} - 1)(t - 2)
ou seja, precisamos usar técnica de expansão algébrica para simplificar o integrando em um polinômio e depois aplicar a integração termo a termo.

Passo 2

Vamos expandir cada parte separadamente. Primeiro,
(1 - t)^{2} = 1 - 2t + t^{2}.
Em seguida,
(t^{2} - 1)(t - 2) = t^{2}\cdot t - 2t^{2} - 1\cdot t + 2 = t^{3} - 2t^{2} - t + 2.
Portanto o integrando é
(1 - t)^{2} - (t^{2} - 1)(t - 2) = \bigl(1 - 2t + t^{2}\bigr) - \bigl(t^{3} - 2t^{2} - t + 2\bigr).

Passo 3

Agora agrupamos termos semelhantes:
1 - 2t + t^{2} - t^{3} + 2t^{2} + t - 2 = -\,t^{3} + 3t^{2} - t - 1.
Logo, a integral fica
\int \bigl(-t^{3} + 3t^{2} - t - 1\bigr)\,dt.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int -t^{3}\,dt = -\frac{t^{4}}{4},\quad \int 3t^{2}\,dt = t^{3},\quad \int -t\,dt = -\frac{t^{2}}{2},\quad \int -1\,dt = -t.
Somando e adicionando a constante C, obtemos
-\frac{t^{4}}{4} + t^{3} - \frac{t^{2}}{2} - t + C.

Resposta

\int\bigl((1 - t)^{2} - (t^{2} - 1)(t - 2)\bigr)\,dt = -\frac{t^{4}}{4} + t^{3} - \frac{t^{2}}{2} - t + C.

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