Encontre as integrais indefinidas das funções do Problema 5 do item (a) ao (f).
(e) \int\left[\frac{t^{-6}}{16}\left(\left(\frac{2}{t}\right)^{6}-2^{6}\right)\right] d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{t^{-6}}{16}\Bigl(\bigl(\tfrac{2}{t}\bigr)^{6}-2^{6}\Bigr)\,dt.
Aqui vamos usar duas ideias principais: distribuição (para simplificar o integrando) e a regra de potência para integrar termos do tipo t^{n}.

Passo 2

Primeiro simplificamos o que está dentro do integrando. Note que
\bigl(\tfrac{2}{t}\bigr)^{6}=2^{6}\,t^{-6}=64\,t^{-6},
logo
\bigl(\tfrac{2}{t}\bigr)^{6}-2^{6}=64\,t^{-6}-64=64\,(t^{-6}-1).
Multiplicando por t^{-6}/16
\frac{t^{-6}}{16}\cdot64\,(t^{-6}-1) =\frac{64}{16}\,\bigl(t^{-6}\cdot t^{-6}-t^{-6}\bigr) =4\,(t^{-12}-t^{-6}).
Assim a integral vira
\int\frac{t^{-6}}{16}\Bigl(\bigl(\tfrac{2}{t}\bigr)^{6}-2^{6}\Bigr)\,dt =\int 4\,t^{-12}\,dt-\int4\,t^{-6}\,dt.

Passo 3

Agora aplicamos a regra de potência \displaystyle\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1).
Para o primeiro termo:
\int4\,t^{-12}\,dt =4\cdot\frac{t^{-11}}{-11} =-\frac{4}{11}\,t^{-11}.
Para o segundo termo:
\int4\,t^{-6}\,dt =4\cdot\frac{t^{-5}}{-5} =-\frac{4}{5}\,t^{-5}.
Como havia um sinal negativo na frente desse segundo integral, o resultado final fica
-\frac{4}{11}\,t^{-11} -\Bigl(-\frac{4}{5}\,t^{-5}\Bigr) =-\frac{4}{11}\,t^{-11}+\frac{4}{5}\,t^{-5}.

Resposta

-\frac{4}{11}\,t^{-11}+\frac{4}{5}\,t^{-5}+C.

Exercícios relacionados