Encontre as integrais indefinidas:
\int \frac{\cos (x)}{2 \operatorname{sen}^{2}(x)+3 \cos ^{2}(x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\cos(x)}{2\operatorname{sen}^{2}(x)+3\cos^{2}(x)}\,dx.
Estamos no tema de integração de funções trigonométricas e vamos precisar simplificar o denominador antes de escolher uma substituição adequada.

Passo 2

Observamos que
2\operatorname{sen}^{2}(x)+3\cos^{2}(x) =2\bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr)+3\cos^{2}(x) =2-2\cos^{2}(x)+3\cos^{2}(x) =2+\cos^{2}(x).
Logo a integral fica
\int \frac{\cos(x)}{2+\cos^{2}(x)}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sen}(x), \qquad du = \cos(x)\,dx.
Com isso
\int \frac{\cos(x)}{2+\cos^{2}(x)}\,dx =\int \frac{du}{2+\bigl(1-u^{2}\bigr)} =\int \frac{du}{3 - u^{2}}.

Passo 4

Para a integral
\int \frac{du}{3 - u^{2}}
usamos a fórmula padrão para diferença de quadrados, com a^{2}=3, a=\sqrt{3}:
\int \frac{du}{a^{2}-u^{2}} =\frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{a+u}{a-u}\right\rvert + C.
Substituindo a=\sqrt{3} e voltando a u=\operatorname{sen}(x), obtemos
\int \frac{du}{3 - u^{2}} =\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\!\left\lvert\frac{\sqrt{3}+\operatorname{sen}(x)}{\sqrt{3}-\operatorname{sen}(x)}\right\rvert + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{\cos(x)}{2\operatorname{sen}^{2}(x)+3\cos^{2}(x)}\,dx =\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln\!\left\lvert\frac{\sqrt{3}+\operatorname{sen}(x)}{\sqrt{3}-\operatorname{sen}(x)}\right\rvert + C }.

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