Encontre as integrais indefinidas:
\int \frac{\cos (x)}{5+\operatorname{sen}^{2}(x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\cos(x)}{5+\operatorname{sen}^2(x)}\,dx.
O conteúdo principal é usar substituição simples, reconhecendo que a derivada de \operatorname{sen}(x) é \cos(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
\displaystyle u = \operatorname{sen}(x), logo
\displaystyle du = \cos(x)\,dx.
Assim a integral em x passa a ser uma integral em u:
\int \frac{\cos(x)}{5+\operatorname{sen}^2(x)}\,dx = \int \frac{du}{5+u^2}.

Passo 3

Usamos a integral padrão
\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr) + C.
Aqui a^2 = 5, então a = \sqrt{5}. Logo
\int \frac{du}{5+u^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\Bigl(\frac{u}{\sqrt{5}}\Bigr) + C.

Resposta

\int \frac{\cos(x)}{5+\operatorname{sen}^2(x)}\,dx = \frac{1}{\sqrt{5}}\arctan\!\Bigl(\frac{\operatorname{sen}(x)}{\sqrt{5}}\Bigr) + C.

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