Encontre as integrais indefinidas:
\int \frac{1}{(1+x) \sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada
\int \frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}\,dx,
que envolve uma raiz quadrada no denominador. Vamos usar o método de substituição para simplificar.

Passo 2

Faça a troca
t = \sqrt{x},
então
x = t^2,\quad dx = 2t\,dt,\quad \sqrt{x}=t.
Isso costuma eliminar a raiz e tornar o integral mais simples.

Passo 3

Substituindo em
\int \frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}\,dx
temos
\int \frac{1}{(1+t^2)\,t}\cdot 2t\,dt = \int \frac{2t}{t(1+t^2)}\,dt = \int \frac{2}{1+t^2}\,dt.

Passo 4

Reconhecemos que
\displaystyle \int \frac{2}{1+t^2}\,dt
é uma integral padrão, cuja primitiva é
2\arctan(t)+C.

Passo 5

Voltando à variável x, como t=\sqrt{x}, a antiderivada original fica
2\arctan(\sqrt{x})+C.

Resposta

2\arctan(\sqrt{x}) + C

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