Encontre as integrais indefinidas:
\int\left(t+\frac{1}{t}\right) \frac{t^{2}-1}{t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\bigl(t+\tfrac{1}{t}\bigr)\frac{t^{2}-1}{t^{2}}\,dt.
O que vamos precisar é simplificar o integrando e depois usar a regra de potência \displaystyle\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.

Passo 2

Começamos simplificando o produto dentro da integral:
(t + \tfrac{1}{t})\frac{t^{2}-1}{t^{2}} = \frac{t(t^{2}-1)}{t^{2}} + \frac{(t^{2}-1)}{t^{3}} = \frac{t^{2}-1}{t} + \frac{t^{2}-1}{t^{3}}.
Agora separamos cada fração:
\frac{t^{2}-1}{t} = t - \tfrac{1}{t}, \quad \frac{t^{2}-1}{t^{3}} = t^{-1} - t^{-3}.
Somando os resultados, os termos -\tfrac{1}{t} e t^{-1} se cancelam, restando
t - t^{-3}.

Passo 3

A integral fica
\int\bigl(t - t^{-3}\bigr)\,dt = \int t\,dt \;-\;\int t^{-3}\,dt.

Passo 4

Aplicando a regra de potência:
\int t\,dt = \frac{t^{2}}{2}, \qquad \int t^{-3}\,dt = \frac{t^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2t^{2}}.
Logo
\int\bigl(t - t^{-3}\bigr)\,dt = \frac{t^{2}}{2} - \Bigl(-\frac{1}{2t^{2}}\Bigr) + C = \frac{t^{2}}{2} + \frac{1}{2t^{2}} + C.

Resposta

\frac{t^{2}}{2} + \frac{1}{2t^{2}} + C

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