Encontre as integrais indefinidas:
\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx
Isso é uma integral de função racional. Para resolver, vamos usar divisão de polinômios (ou manipulação algébrica) para decompor o integrando em termos mais simples cujas primitivas a gente já conhece.

Passo 2

Fazendo a divisão do numerador pelo denominador, escrevemos
\frac{x^{2}}{1+x^{2}} =1 - \frac{1}{1+x^{2}}
Pois x^{2} = (1+x^{2}) - 1.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx = \int \Bigl(1 - \frac{1}{1+x^{2}}\Bigr)\,dx = \int 1\,dx \;-\;\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 4

Agora basta lembrar as primitivas conhecidas:
\int 1\,dx = x \quad\text{e}\quad \int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan(x).

Passo 5

Juntando os resultados e acrescentando a constante de integração C, obtemos
\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\,dx = x \;-\;\arctan(x) \;+\;C.

Resposta

x - \arctan(x) + C

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