Encontre as integrais indefinidas:
\int \frac{8 x^{2}}{\left(x^{3}+2\right)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{8x^{2}}{(x^{3}+2)^{3}}\,dx
O conteúdo envolvido é o método de substituição, pois o denominador tem a forma x^{3}+2 cuja derivada aparece no numerador.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{3}+2,
então
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \frac{8x^{2}}{(x^{3}+2)^{3}}\,dx = 8 \int \frac{x^{2}\,dx}{u^{3}} = 8 \int \frac{1}{u^{3}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{8}{3}\int u^{-3}\,du.

Passo 4

Aplicamos a regra de potência para integrar u^{-3}:
\int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2}u^{-2} + C.
Portanto
\frac{8}{3}\int u^{-3}\,du = \frac{8}{3}\cdot\Bigl(-\frac{1}{2}u^{-2}\Bigr) + C = -\frac{4}{3}\,u^{-2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u = x^{3}+2, obtemos
-\frac{4}{3}\,(x^{3}+2)^{-2} + C.

Resposta

\int \frac{8x^{2}}{(x^{3}+2)^{3}}\,dx = -\frac{4}{3\,(x^{3}+2)^{2}} + C.

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