Encontre as integrais indefinidas:
\int x \arcsin \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x \,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
O conteúdo envolve técnicas de substituição e integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição
\;t = x^{2},\quad dt = 2x\,dx\quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{2}.
Assim
\int x\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\int \arcsin(t)\,dt.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\int \arcsin(t)\,dt usamos integração por partes escolhendo
u = \arcsin(t),\quad dv = dt,\quad du = \frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}},\quad v = t.
Logo
\int \arcsin(t)\,dt = t\,\arcsin(t) - \int \frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt.

Passo 4

Calculamos \displaystyle\int \frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt por substituição
w = 1 - t^{2},\quad dw = -2t\,dt\quad\Longrightarrow\quad t\,dt = -\frac{dw}{2}.
Então
\int \frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}\,dt = -\frac{1}{2}\int w^{-\tfrac12}\,dw = -\frac{1}{2}\cdot 2\,w^{\tfrac12} = -\sqrt{1-t^{2}}.

Passo 5

Substituindo de volta em \int \arcsin(t)\,dt resulta
\int \arcsin(t)\,dt = t\,\arcsin(t) + \sqrt{1-t^{2}} + C.
Portanto
\int x\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\bigl[t\,\arcsin(t) + \sqrt{1-t^{2}}\bigr] + C = \frac{x^{2}}{2}\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr) + \frac{1}{2}\sqrt{1 - x^{4}} + C.

Resposta

\boxed{\int x\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2}\,\arcsin\bigl(x^{2}\bigr) + \frac{1}{2}\sqrt{1 - x^{4}} + C.}

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