Encontre os integrais de linha sobre curvas:
, onde
é
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular uma integral de linha sobre uma curva
. A integral é
, onde a curva
é dada por
,
, e
, com
variando de
a
. Vamos usar o conteúdo de integrais de linha e parametrização de curvas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular uma integral de linha quando a curva está parametrizada. Se a curva
é descrita por
para
no intervalo
, então a integral de
ao longo de
é dada por:
Aqui,
é o elemento de arco, que representa um pequeno pedaço da curva, e
é a magnitude do vetor derivada da parametrização, que nos dá o tamanho desse pedaço.
Passo 3
Vamos identificar a função que queremos integrar e a parametrização da curva. Nossa função é
. A curva
está parametrizada por:
para
entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada da parametrização
em relação a
:
A magnitude dessa derivada é:
Aqui usamos a identidade trigonométrica
.
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula da integral de linha, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos calcular a integral separadamente:
Multiplicando pela constante
:
Resposta
A integral de linha é igual a: