Encontre a integral dupla usando coordenadas polares:
integral duplax^2+y^2 <= a^2 e^1+x^2+y^2 d x d y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral sobre a região onde da função . Vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando temos simetria circular, como nessa região que é um círculo de raio . Para isso, precisamos lembrar como converter e para coordenadas polares e ajustar o diferencial de área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como transformar de coordenadas cartesianas x = r costheta, y = r sintheta para polares dx,dy = r,dr,dtheta :
E o diferencial de área em coordenadas polares vira:
Isso acontece porque estamos basicamente duplicando a área ao transformar de retângulos para fatias circulares.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a condição da região de integração r^2 <= a^2 Rightarrow r <= a em coordenadas polares. Substituindo:
Então, varia de 0 até , e varia de 0 até para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Vamos substituir a função e^1 + x^2 + y^2 = e^1 + r^2 para coordenadas polares. Sabemos que integral duplax^2+y^2 <= a^2 e^1 + x^2 + y^2,dx,dy = integral0^2pi integral0^a e^1 + r^2 cdot r,dr,dtheta , então:
Agora, nossa integral dupla fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^a e^1 + r^2 cdot r,dr :
12 integral1^1 + a^2 e^u,du = 12 [ e^u ]1^1 + a^2 = 12 ( e^1 + a^2 - e^1 )
Fazendo uma substituição simples: seja , então ou . Quando , ; quando , .
Substituindo, temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral0^2pi 12 ( e^1 + a^2 - e^1 ) dtheta = 12 ( e^1 + a^2 - e^1 ) cdot integral0^2pi dtheta = 12 ( e^1 + a^2 - e ) cdot 2pi = pi ( e^1 + a^2 - e ) :

Resposta

integral duplax^2+y^2 <= a^2 e^1+x^2+y^2,dx,dy = pi ( e^1 + a^2 - e )

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