Encontre a integral dupla usando coordenadas polares:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral sobre a região onde
da função
. Vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando temos simetria circular, como nessa região que é um círculo de raio
. Para isso, precisamos lembrar como converter
e
para coordenadas polares e ajustar o diferencial de área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como transformar de coordenadas cartesianas
para polares
:
E o diferencial de área
em coordenadas polares vira:
Isso acontece porque estamos basicamente duplicando a área ao transformar de retângulos para fatias circulares.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a condição da região de integração
em coordenadas polares. Substituindo:
Então,
varia de 0 até
, e
varia de 0 até
para cobrir todo o círculo.
Passo 4
Vamos substituir a função
para coordenadas polares. Sabemos que
, então:
Agora, nossa integral dupla fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo uma substituição simples: seja
, então
ou
. Quando
,
; quando
,
.
Substituindo, temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
: