Resolva os problemas e faça um esboço do gráfico da solução.
y^prime prime+12 y^prime+y=de;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de 2ª ordem com força tipo Dirac deslocado:
Temos
y''+tfrac12,y'+y=de
onde entendemos de. O conteúdo principal é a resposta ao impulso de um sistema subamortecido e vamos usar transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando Y(s)= Ly(t), e usando y(0)=0, y'(0)=0 e Lde, obtemos
Ly''+tfrac12, Ly'+ Ly=e^-s
ou seja
s^2Y(s)+tfrac12,sY(s)+Y(s)=e^-s

Passo 3

Agora agrupamos em Y(s):
Y(s)l(s^2+tfrac12s+1r)=e^-s,
logo
Y(s)=e^-ss^2+tfrac12s+1

Passo 4

Reconhecemos que a parte H(s)=1/(s^2+tfrac12s+1) é a transformada de Laplace da resposta ao impulso de um sistema subamortecido. Comparando com o modelo padrão
y''+2zetaomegan y'+omegan^2y=de
temos 2zetaomegan=tfrac12 e omegan^2=1, então omegan=1 e zeta=1/4. O pólo complexo conjugado gera
omegad=omeganraiz1-zeta^2=raiz1-tfrac116=raiz154
A resposta ao impulso é
h(t)=1omegade^-zetaomegan tsin(omegad t)=4raiz15e^-tfrac14 tsinl(tfracraiz154 tr), t>=0

Passo 5

Pela propriedade de deslocamento no tempo, quando pintamos um fator e^-s em Y(s), a saída fica deslocada:
y(t)=h(t-1),u(t-1)
Logo, juntando tudo,
y(t)=4raiz15e^-tfrac14 (t-1)sinl(tfracraiz154 (t-1)r),u(t-1)

Passo 6

Para esboçar o gráfico: de t<1 temos y(t)=0. No instante t=1 o impulso inicia uma oscilação amortecida subamortecida que parte de zero, atinge o primeiro pico positivo pouco depois de t=1 e vai decaindo exponencialmente, alternando sinal com amplitude cada vez menor.

Resposta

y(t)=4raiz15,e^-tfrac14 (t-1)sinl(tfracraiz154 (t-1)r),u(t-1)

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