Resolva os problemas e faça um esboço do gráfico da solução.
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de 2ª ordem com força tipo Dirac deslocado:
Temos
Temos
onde entendemos
. O conteúdo principal é a resposta ao impulso de um sistema subamortecido e vamos usar transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no tempo.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando
, e usando
,
e
, obtemos
ou seja
Passo 3
Agora agrupamos em
:
logo
Passo 4
Reconhecemos que a parte
é a transformada de Laplace da resposta ao impulso de um sistema subamortecido. Comparando com o modelo padrão
temos
e
, então
e
. O pólo complexo conjugado gera
A resposta ao impulso é
Passo 5
Pela propriedade de deslocamento no tempo, quando pintamos um fator
em
, a saída fica deslocada:
Logo, juntando tudo,
Passo 6
Para esboçar o gráfico: de
temos
. No instante
o impulso inicia uma oscilação amortecida subamortecida que parte de zero, atinge o primeiro pico positivo pouco depois de
e vai decaindo exponencialmente, alternando sinal com amplitude cada vez menor.