Encontre a área limitada pelas curvas:
raizx+raizy=raiza, x=0, y=0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas x=0, y=0 e raizx+raizy=raiza. O conteúdo principal aqui é área por integração dupla e vamos usar uma troca de variáveis que simplifica essa fronteira.

Passo 2

Fazemos a mudança de variáveis u=raizx e v=raizy. Assim temos x=u^2, y=v^2 e o jacobiano é
detpartial(x,y)partial(u,v)=det2u&00&2v=4uv

Passo 3

Na região em (u,v)-planos, as restrições viram u>=0, v>=0 e u+v<=raiza. Logo a área original é
integral duplaRdx,dy=integral duplaD4uv,du,dv, onde Dcolon 0<= u<=raiza,;0<= v<=raiza-u. Vamos integrar primeiro em v:
integralv=0^raiza-u4uv,dv=4ucdot(raiza-u)^22=2u(raiza-u)^2

Passo 4

Agora integramos em u:
integral0^raiza2u(raiza-u)^2,du=2integral0^raizal(a u-2raiza,u^2+u^3r)du

Passo 5

Calculando cada termo no intervalo [0,raiza] obtemos
2l(a^22-2a^23+a^24r)=2cdota^212=a^26

Resposta

a^26

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