Encontre a integral indefinida da seguinte função:
g(t)=2 cos ^2 t+tg tcos t;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a integral indefinida da função . Para isso, vamos usar conceitos de integração de funções trigonométricas e simplificação de expressões. Vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas básicas e de como integrar termos como e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos:
g(t) = 2 cos^2 t + tan tcos t
Podemos separar a fração:
g(t) = 2 cos^2 tcos t + tan tcos t
Simplificando cada termo:
2 cos^2 tcos t = 2 cos t
tan tcos t = tan t cdot sec t = sin tcos^2 t
Então, a função fica:
g(t) = 2 cos t + sin tcos^2 t

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral da função simplificada:
integral g(t) , dt = integral ( 2 cos t + sin tcos^2 t ) dt
Podemos separar a integral em duas partes:
integral 2 cos t , dt + integral sin tcos^2 t , dt

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
integral 2 cos t , dt
A integral de 2 sin t + C1 é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, a segunda integral:
integral sin tcos^2 t , dt
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja integral sin tcos^2 t , dt = -integral 1u^2 , du , então - ( -1u ) + C2 = 1u + C2 . Reescrevendo a integral:
1cos t + C2 = sec t + C2
Integrando:
Substituindo :

Passo 6

Agora, juntando as duas partes da integral:
2 sin t + sec t + C
Onde é a constante geral de integração.

Resposta

integral 2 cos^2 t + tan tcos t , dt = 2 sin t + sec t + C

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