Encontre a integral indefinida da seguinte função:
h(v)=(-2+v^-2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a integral indefinida da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar expandir a função e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão (-2 + v^-2)^2 = (-2)^2 + 2 cdot (-2) cdot v^-2 + (v^-2)^2 . Lembração de como expandir binômios? Usamos a regra = 4 - 4v^-2 + v^-4 .
Então, aplicando isso:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora que temos a expressão expandida, vamos reescrever a integral usando esses termos:
integral (4 - 4v^-2 + v^-4) dv
Podemos separar a integral em três partes:
integral 4, dv - 4 integral v^-2, dv + integral v^-4, dv

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integral de 4 em relação a integral 4, dv = 4v :
    -4 integral v^-2, dv = -4 ( v^-1-1 ) = 4v^-1 = 4v
  2. Integral de integral v^-4, dv = v^-3-3 = -13v^-3 = -13v^3 em relação a :
    Lembra que , onde .
    Aqui, :
  3. Integral de em relação a :
    Aqui, :

Resposta

Juntando tudo, a integral indefinida de 4v + 4v - 13v^3 + C é:
Onde é a constante de integração.

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