Encontre a integral indefinida da seguinte função:
f(x)=sen^2 x7 cos ^2 x+cos ^2 x7 cos ^2 x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar a integral indefinida da função:
f(x) = sin^2 x7 cos^2 x + cos^2 x7 cos^2 x
Aqui, estamos lidando com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão antes de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada termo da função f(x) = sin^2 x7 cos^2 x + cos^2 x7 cos^2 x :
cos^2 x7 cos^2 x = 17
No segundo termo, f(x) = sin^2 x7 cos^2 x + 17 , o no numerador e denominador se cancelam:
Então, agora temos:

Passo 3

Vamos olhar para o primeiro termo: sin^2 xcos^2 x = tan^2 x . Podemos reescrever isso usando identidades trigonométricas.
Sabemos que:
sin^2 x7 cos^2 x = tan^2 x7
Portanto:
f(x) = tan^2 x7 + 17
Agora, nossa função fica:

Passo 4

Vamos reescrever f(x) = 17 tan^2 x + 17 de forma mais simples:
f(x) = 17 (tan^2 x + 1)
Podemos fatorar tan^2 x + 1 = sec^2 x :
f(x) = 17 sec^2 x
Agora, lembramos da identidade trigonométrica:
Então, substituindo na função:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a integral indefinida de integral f(x) , dx = integral 17 sec^2 x , dx :
17 integral sec^2 x , dx
Podemos tirar a constante ddx (tan x) = sec^2 x para fora da integral:
Sabemos que a integral de é , pois:

Resposta

Portanto, a integral indefinida de integral f(x) , dx = 17 tan x + C é:
Onde é a constante de integração.

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