Encontre a integral:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: o integrando é a soma de três termos
,
e
. O que se quer é uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
seja o integrando.
Passo 2
Regra útil (linearidade da integral): a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em forma matemática:
e, se
é constante,
Vou aplicar isso para separar a integral em três integrais mais simples.
Passo 3
Regra principal para usar (regra da potência): para
,
Explicação curta: essa fórmula vem do fato de que, ao derivar
, obtém-se
. Aqui
é a constante de integração. Vamos aplicar essa regra termo a termo.
Passo 4
Integral do primeiro termo
:
Justificativa:
, então a constante
multiplica
.
Passo 5
Integral do segundo termo
:
usar a linearidade para tirar para fora e aplicar a regra da potência com
:
usar a linearidade para tirar
Agora simplificar o coeficiente:
portanto
Passo 6
Integral do terceiro termo
:
tirando a constante e aplicando a regra da potência com
:
tirando a constante
Simplificando o coeficiente:
portanto
Passo 7
Somando as três primitivas obtidas e adicionando a constante de integração
, a antiderivada geral é
Passo 8
Verificação rápida (opcional mas recomendado): derivando
deve voltar ao integrando.
que é exatamente o integrando. Logo a resposta está correta.