Encontre a integral:
\int\left(10+\frac{2}{3} x^{5}+\frac{3}{4} x^{7}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(10+\frac{2}{3}x^{5}+\frac{3}{4}x^{7}\right)\,dx.
Informações dadas: o integrando é a soma de três termos \,10, \frac{2}{3}x^{5} e \frac{3}{4}x^{7}. O que se quer é uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) seja o integrando.

Passo 2

Regra útil (linearidade da integral): a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em forma matemática:
\int\big(a(x)+b(x)+c(x)\big)\,dx=\int a(x)\,dx+\int b(x)\,dx+\int c(x)\,dx
e, se k é constante,
\int k\cdot f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx.
Vou aplicar isso para separar a integral em três integrais mais simples.

Passo 3

Regra principal para usar (regra da potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação curta: essa fórmula vem do fato de que, ao derivar \frac{x^{n+1}}{n+1}, obtém-se x^{n}. Aqui C é a constante de integração. Vamos aplicar essa regra termo a termo.

Passo 4

Integral do primeiro termo \,10:
\int 10\,dx = 10\int 1\,dx = 10x.
Justificativa: \int 1\,dx = x, então a constante 10 multiplica x.

Passo 5

Integral do segundo termo \,\frac{2}{3}x^{5}:
usar a linearidade para tirar \frac{2}{3} para fora e aplicar a regra da potência com n=5:
\int \frac{2}{3}x^{5}\,dx = \frac{2}{3}\int x^{5}\,dx = \frac{2}{3}\cdot\frac{x^{6}}{6}.
Agora simplificar o coeficiente:
\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{2}{18}=\frac{1}{9},
portanto
\int \frac{2}{3}x^{5}\,dx = \frac{x^{6}}{9}.

Passo 6

Integral do terceiro termo \,\frac{3}{4}x^{7}:
tirando a constante \frac{3}{4} e aplicando a regra da potência com n=7:
\int \frac{3}{4}x^{7}\,dx = \frac{3}{4}\int x^{7}\,dx = \frac{3}{4}\cdot\frac{x^{8}}{8}.
Simplificando o coeficiente:
\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{32},
portanto
\int \frac{3}{4}x^{7}\,dx = \frac{3x^{8}}{32}.

Passo 7

Somando as três primitivas obtidas e adicionando a constante de integração C, a antiderivada geral é
F(x)=10x+\frac{x^{6}}{9}+\frac{3x^{8}}{32}+C.

Passo 8

Verificação rápida (opcional mas recomendado): derivando F(x) deve voltar ao integrando.
F'(x)=10+\frac{6x^{5}}{9}+\frac{24x^{7}}{32}=10+\frac{2x^{5}}{3}+\frac{3x^{7}}{4},
que é exatamente o integrando. Logo a resposta está correta.

Resposta

10x+\dfrac{x^{6}}{9}+\dfrac{3x^{8}}{32}+C

Exercícios relacionados