( \mathbf{2 , 5} pontos) Classifique a equação diferencial (em relação ao tipo, ordem e linearidade) e encontre a família de soluções.
\left(1+\ln x+\frac{y}{x}\right) d x=(1-\ln x) d y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Classificar a equação diferencial em relação ao tipo, à ordem e à linearidade.
  2. Encontrar a família de soluções (a solução geral).
Informações dadas:
\left(1+\ln x+\frac{y}{x}\right)dx=(1-\ln x)\,dy.
Observações imediatas (dados do enunciado):
  • A presença de \ln x exige x>0.
  • A equação está dada na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, com M e N que usaremos abaixo.

Passo 2

Escrever a equação na forma padrão M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 para facilitar a classificação e escolher método.
Reescrevendo:
\left(1+\ln x+\frac{y}{x}\right)dx-(1-\ln x)\,dy=0.
Logo definimos
M(x,y)=1+\ln x+\frac{y}{x},\qquad N(x,y)=-(1-\ln x)=\ln x-1.

Passo 3

Classificação (explicando cada termo com calma):
  • Ordem: é de primeira ordem porque só aparecem dx e dy (a derivada considerada é \dfrac{dy}{dx}, nenhuma derivada de ordem maior aparece).
  • Tipo: é uma equação diferencial ordinária (ODE), pois x é a variável independente e y a dependente — não há derivadas parciais.
  • Linearidade: podemos verificar se é linear em y. Reescrevendo como \dfrac{dy}{dx}= função, obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1+\ln x+\dfrac{y}{x}}{1-\ln x}.
Isto é equivalente a
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x(1-\ln x)}\,y=\frac{1+\ln x}{1-\ln x},
que tem a forma linear padrão \dfrac{dy}{dx}+p(x)y=q(x). Portanto é uma equação linear de primeira ordem em y.
Além disso, antes de aplicar o método linear, vale checar exatidão — às vezes a equação já é exata e isso simplifica bastante, e aqui essa verificação é simples.

Passo 4

Verificação de exatidão (e por que isso ajuda):
  • Uma equação na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x} num domínio considerado.
    Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(1+\ln x+\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{x}.
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(\ln x-1)=\frac{1}{x}.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=\dfrac{1}{x}, a equação é exata (numa região onde x>0). Isso significa que existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y),
e a solução geral implícita é \Phi(x,y)=C.

Passo 5

Encontrar a função potencial \Phi(x,y) integrando M em relação a x (tratando y como constante) e depois ajustando com uma função de y.
Integramos M em x:
\Phi(x,y)=\int \left(1+\ln x+\frac{y}{x}\right)\,dx.
Calculemos termo a termo:
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
  • \displaystyle \int \ln x\,dx. Aqui usamos integração por partes: tomar u=\ln x, dv=dx du=\dfrac{1}{x}dx, v=x. Assim
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x.
  • \displaystyle \int \frac{y}{x}\,dx = y\int \frac{1}{x}\,dx = y\ln x (lembrando que y é constante na integração em x).
Somando:
\Phi(x,y)=x + (x\ln x - x) + y\ln x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constante de integração em relação a x). Simplificando:
\Phi(x,y)=x\ln x + y\ln x + h(y).

Passo 6

Determinar h(y) usando \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Calcule:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x\ln x + y\ln x + h(y)\big)=\ln x + h'(y).
Mas sabemos que \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y)=\ln x-1. Igualando:
\ln x + h'(y)=\ln x-1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-1.
Integrando em y:
h(y)=-y + C,
onde C é constante. Assim a função potencial completa é
\Phi(x,y)=x\ln x + y\ln x - y + C.

Passo 7

Escrever a solução geral implícita e, se desejado, passar para a forma explícita y=\cdots.
A solução implícita é
\Phi(x,y)=x\ln x + y\ln x - y = C.
Podemos reorganizar para isolar y. Coloque os termos com y juntos:
y(\ln x -1)+x\ln x = C.
Como \ln x-1=-(1-\ln x), obtemos
-(1-\ln x)\,y + x\ln x = C.
Isolando y,
(1-\ln x)\,y = x\ln x + C,
logo, para x>0 e \ln x\neq 1 (isto é, x\neq e), a solução explícita é
y=\frac{x\ln x + C}{1-\ln x}.
Se \ln x=1 (ou seja x=e) a forma explícita divide por zero; a solução implícita x\ln x + y\ln x - y=C continua a dar a relação correta e deve ser tratada com cuidado em torno de x=e.

Resposta

A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear em y e, além disso, é exata.
\boxed{x\ln x + y\ln x - y = C}
\boxed{y=\dfrac{x\ln x + C}{1-\ln x}\quad (x>0,\ \ln x\neq 1)}

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