(
pontos) Classifique a equação diferencial (em relação ao tipo, ordem e linearidade) e encontre a família de soluções.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Classificar a equação diferencial em relação ao tipo, à ordem e à linearidade.
- Encontrar a família de soluções (a solução geral).
Informações dadas:
Observações imediatas (dados do enunciado):
- A presença de
exige . - A equação está dada na forma diferencial
, com e que usaremos abaixo.
Passo 2
Escrever a equação na forma padrão
para facilitar a classificação e escolher método.
Reescrevendo:
Logo definimos
Passo 3
Classificação (explicando cada termo com calma):
- Ordem: é de primeira ordem porque só aparecem
e (a derivada considerada é , nenhuma derivada de ordem maior aparece). - Tipo: é uma equação diferencial ordinária (ODE), pois
é a variável independente e a dependente — não há derivadas parciais. - Linearidade: podemos verificar se é linear em
. Reescrevendo como função, obtemos
Isto é equivalente a
que tem a forma linear padrão
. Portanto é uma equação linear de primeira ordem em
.
Além disso, antes de aplicar o método linear, vale checar exatidão — às vezes a equação já é exata e isso simplifica bastante, e aqui essa verificação é simples.
Passo 4
Verificação de exatidão (e por que isso ajuda):
- Uma equação na forma
é exata se num domínio considerado.
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata (numa região onde
). Isso significa que existe uma função potencial
tal que
e a solução geral implícita é
.
Passo 5
Encontrar a função potencial
integrando
em relação a
(tratando
como constante) e depois ajustando com uma função de
.
Integramos
em
:
Calculemos termo a termo:
-
-
. Aqui usamos integração por partes: tomar , dá , . Assim
-
(lembrando que é constante na integração em ).
Somando:
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
). Simplificando:
Passo 6
Determinar
usando
.
Calcule:
Mas sabemos que
. Igualando:
Integrando em
:
onde
é constante. Assim a função potencial completa é
Passo 7
Escrever a solução geral implícita e, se desejado, passar para a forma explícita
.
A solução implícita é
Podemos reorganizar para isolar
. Coloque os termos com
juntos:
Como
, obtemos
Isolando
,
logo, para
e
(isto é,
), a solução explícita é
Se
(ou seja
) a forma explícita divide por zero; a solução implícita
continua a dar a relação correta e deve ser tratada com cuidado em torno de
.
Resposta
A equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear em
e, além disso, é exata.