Q 10. Em uma certa região do espaço, o campo elétrico é definido como E=1500 i-800 j. Agora responda:
(a) Este é um campo uniforme?
(b) Encontre a diferença de potencial V

Passo 1

Dados fornecidos:
\mathbf{E}=1500\,\mathbf{i}-800\,\mathbf{j}.
Perguntas do enunciado:
(a) Este é um campo uniforme?
(b) Encontre a diferença de potencial V.

Passo 2

O que significa “campo uniforme”? Significa que o campo elétrico não depende da posição: suas componentes são constantes em todo o espaço. Aqui as componentes são \,E_x=1500\,,\;E_y=-800\,,\;E_z=0, todos números fixos (não dependem de x,y,z). Portanto, simplesmente por inspeção das componentes constantes, concluímos que o campo é uniforme. (Resumo curto: componentes constantes → campo uniforme.)

Passo 3

Agora vamos à diferença de potencial. Em eletrostática a diferença de potencial entre dois pontos \mathbf{r}_1 e \mathbf{r}_2 é dada por
V(\mathbf{r}_2)-V(\mathbf{r}_1) = -\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
O que isso significa, em palavras? Significa que a variação de potencial é (menos) o trabalho por unidade de carga feito pelo campo quando uma carga se desloca de \mathbf{r}_1 para \mathbf{r}_2. O produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} é E_x\,dx+E_y\,dy+E_z\,dz.

Passo 4

Para um campo uniforme \mathbf{E} podemos tirar \mathbf{E} para fora da integral, então
V(\mathbf{r}_2)-V(\mathbf{r}_1) = -\mathbf{E}\cdot\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} d\mathbf{l} = -\mathbf{E}\cdot(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1).
Aqui usamos a propriedade vetorial \int d\mathbf{l}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1. Como \mathbf{E}=(1500,-800,0), o produto escalar fica \mathbf{E}\cdot(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)=1500\,(x_2-x_1)-800\,(y_2-y_1). Portanto
V(\mathbf{r}_2)-V(\mathbf{r}_1) = -1500\,(x_2-x_1)+800\,(y_2-y_1).
Esta fórmula é independente do caminho (campo conservativo), e é prática para usar na prova: você só precisa das coordenadas dos pontos.

Passo 5

Também podemos encontrar uma função potencial V(x,y,z) cuja diferença entre dois pontos dê a fórmula acima. Sabendo que \mathbf{E}=-\nabla V, temos as equações
\frac{\partial V}{\partial x} = -1500,\qquad \frac{\partial V}{\partial y} = 800,\qquad \frac{\partial V}{\partial z} = 0.
Integrando a primeira: V=-1500x+g(y,z). Diferenciando isso em y e igualando à segunda dá g_y=800, logo g=800y+h(z). Como a derivada em z é zero, h é constante. Assim uma antiderivada é
V(x,y,z) = -1500\,x + 800\,y + C,
onde C é uma constante arbitrária (o potencial é definido até uma constante).

Passo 6

Exemplo numérico (para fixar): entre \mathbf{r}_1=(0,0,0) e \mathbf{r}_2=(1,2,0),
V(\mathbf{r}_2)-V(\mathbf{r}_1) = -1500(1-0)+800(2-0) = -1500 +1600 = 100\\ \text{(volts)}.
Isso mostra como aplicar a fórmula na prática.

Resposta

(a) Sim, é um campo uniforme.
(b) V(\mathbf{r}_2)-V(\mathbf{r}_1)=-1500\,(x_2-x_1)+800\,(y_2-y_1).

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