Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
36) sumk=0^infty (-1)^k x^2 k(2 k)!

Passo 1

Nesse exercício temos a série de potências
sumk=0^infty (-1)^k x^2k(2k)!
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para avaliar o raio de convergência de séries de potências.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
ak = (-1)^k x^2k(2k)!
Aplicando o teste da razão, calculamos
|ak+1ak| = |x|^2(k+1)(2k+2)!cdot(2k)!|x|^2k = x^2(2k+2)(2k+1)

Passo 3

Agora avaliamos o limite quando ktoinfty:
limktoinfty x^2(2k+2)(2k+1) = 0
Como esse limite é sempre menor que 1, o teste da razão garante convergência para qualquer valor de x.

Passo 4

Concluímos que o raio de convergência é R=infty, ou seja, a série converge para todo xinR.

Resposta

(-∞, ∞)

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