Faça um esboço do gráfico em coordenadas polares da função r=11+cos theta,-pi. Determine a equação cartesiana do gráfico. (Sugestão: trata-se de uma parábola.)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar em coordenadas polares a curva definida por r = 11+costheta, para -pi, e depois achar sua equação cartesiana. Vamos usar conversão polar–cartesiana ( x = rcostheta, y = rsintheta) e lembrar que r = raizx^2+y^2.

Passo 2

Para esboçar, a gente avalia alguns ângulos-chave: em theta=0, r=1/(1+1)=1/2 → ponto (1/2,0); em theta=pmpi/2, r=1/(1+0)=1 → pontos (0,1) e (0,-1); quando thetatopi^-, 1+costhetato0^+ e rto+infty, apontando para a esquerda. Isso sugere uma parábola com vértice em (1/2,0) e braço para a esquerda.

Passo 3

Agora, convertemos em detalhes:
Multiplicamos r(1+costheta)=1, ou seja
r + rcostheta = 1

Passo 4

Como rcostheta = x e r=raizx^2+y^2, isso vira
raizx^2+y^2 + x = 1

Passo 5

Isolamos a raiz:
raizx^2+y^2 = 1 - x,
e, para valores válidos, precisamos de 1 - x >= 0, isto é x<=1. Agora elevamos ao quadrado:
x^2 + y^2 = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2

Passo 6

Cancelamos x^2 dos dois lados e obtemos
y^2 = 1 - 2x

Passo 7

Essa é a equação cartesiana da curva. Reescrevendo em forma canônica de parábola, fica
y^2 = -2l(x - tfrac12r),ou seja, uma parábola de vértice em (1/2,0), foco em (0,0) e diretriz x=1, abrindo para a esquerda.

Resposta

y^2 = 1 - 2x

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